[論文レビュー] Regularity of CR-mappings into Levi-degenerate hypersurfaces

Ilya Kossovskiy, Bernhard Lamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$ℝ^n$ 内の厳密に擬強凸超曲面から $ℝ^{n+1}$ 内の Levi 非退化超曲面への CR-写像について、その正則性に関する結果を確立する。特に、標的が弱い非退化性仮定を満たす場合、このような写像は稠密な開部分集合上で実解析的または滑らかであることを証明する。主たる貢献は、Levi 非退化の場合に既知の結果を拡張した、codimension-one の CR-写像に対する滑らかで実解析的な反射原理の確立である。

ABSTRACT

We provide regularity results for CR-maps between real hypersurfaces in complex spaces of different dimension with a Levi-degenerate target. We address both the real-analytic and the smooth case. Our results allow immediate applications to the study of proper holomorphic maps between Bounded Symmetric Domains.

研究の動機と目的

• 標的が Levi 非退化である場合に限らない、次元が異なる実超曲面間の CR-写像に対する Schwarz 反射原理の拡張。
• 先行研究が制限されていた、Levi 非退化標的への CR-写像の正則性問題を、実解析的および滑らかカテゴリーの両方で取り扱う。
• ホロモルフィック非退化性や有限非退化性などの最小限の仮定のもとで、CR-写像の一般的解析的および滑らか性を確立する。
• 自然に一様 2-非退化超曲面で境界づけられる有界対称領域間の正則な固有写像を研究するための基礎的ツールを提供する。

提案手法

• 写像のジェット延長に関連する微分系を解析するための中心的道具として、CR-写像の $k$-非退化性の概念を用いる。
• 標的超曲面の定義方程式に CR ベクトル場を作用させることで得られる方程式系に、陰関数定理を適用する。
• 写像の成分を $\bar{F}$, $L\bar{F}$, および $F_{n+1}$ で表すように CR-写像を正規化し、陰関数論を用いてホロモルフィック拡張 $\Psi$ を構成する。
• 特徴的微形式の Lie 衍導の消え方を分析して非退化性条件を特定し、写像が $\ell$-非退化でない点の集合を行列式イデアルによって定義する。
• 標的のホロモルフィック非退化性および有限非退化性の概念を用いて、ジェット延長の成長を制御し、正則性を保証する。
• Mir [Mi1] の技術を拡張し、Levi 非退化の設定に適応するため、拡張写像の Lie 衍導の非消失性に基づく場合分けを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^2$ の CR-写像 $F: M \to M'$ が、$ℝ^n$ 内の実解析的厳密に擬強凸超曲面 $M$ から $ℝ^{n+1}$ 内の実解析的 Levi 非退化超曲面 $M'$ へ写像されるとき、どのような条件下で、その写像が源の近傍へ解析的拡張可能か？
• RQ2 適切な非退化性仮定のもとで、Levi 非退化標的への CR-写像の滑らか性が $C^2$ から $C^\infty$ に向上するか？
• RQ3 Levi 非退化の場合に知られている結果と同様の、Levi 非退化超曲面への CR-写像に対する反射原理は存在するか？
• RQ4 ホロモルフィック非退化性および有限非退化性が、codimension-one の Levi 非退化標的への CR-写像の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 標的が一様 2-非退化であるとき、源多様体全体にわたって正則性が一様に保証されるか？

主な発見

• 実解析的厳密に擬強凸超曲面 $M \subset \mathbb{C}^n$ から実解析的 Levi 非退化超曲面 $M' \subset \mathbb{C}^{n+1}$ への $C^2$ CR-写像 $F: M \to M'$ が、$M'$ がホロモルフィック非退化であれば、$M$ の稠密な開部分集合上で実解析的である。
• 滑らかな厳密に擬強凸超曲面 $M \subset \mathbb{C}^n$ から滑らかな Levi 非退化超曲面 $M' \subset \mathbb{C}^{n+1}$ への $C^2$ CR-写像 $F: M \to M'$ が、$M'$ が有限非退化であれば、$M$ の稠密な開部分集合上で滑らかである。
• 標的 $M'$ が一様 2-非退化であれば、任意の CR-写像 $F: M \to M'$ は、実解析的（resp. 滑らか）なカテゴリーにおいて $M$ 全体で実解析的（resp. 滑らか）である。
• 証明は、CR ベクトル場から得られる方程式系に陰関数定理を適用することで、写像成分のホロモルフィック拡張 $\Psi$ を構成することに依拠している。
• 拡張写像の Lie 衍導の非消失性に基づく場合分けにより、写像が稠密な開集合上で実解析的であるか、あるいは写像が至る所で非解析的であると仮定すると矛盾が生じる。
• 拡張写像が標的へ双正則写像であるケース 2B が、$M'$ のホロモルフィック非退化性により排除され、結果として解析的性が一般に成立することが保証される。