[論文レビュー] Regularity of entropy, geodesic currents and entropy at infinity

Barbara Schapira, Samuel Tapie|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトで負に曲がったリーマン多様体のうち、無限大におけるエントロピーとトポロジカルエントロピーの間に臨界的ギャップを有する「強く正再帰的」(SPR)多様体を導入し、その上に有限なボーエン＝マーガリス測度が存在し、$C^2$計量摂動のもとで連続的に変化することを証明する。著者らは、新規の電流に基づくアプローチにより、このような摂動の下でトポロジカルエントロピーの$C^1$正則性を確立し、コンパクトな場合のKatok-Knieper-Weissの結果を非コンパクトな設定へ一般化する。

ABSTRACT

In this work, we introduce the notion of entropy at infinity, and define a wide class of noncompact manifolds with negative curvature, those which admit a critical gap between entropy at infinity and topological entropy. We call them strongly positively recurrent manifolds (SPR), and provide many examples. We show that dynamically, they behave as compact manifolds. In particular, they admit a finite measure of maximal entropy. Using the point of view of currents at infinity, we show that on these SPR manifolds the topological entropy of the geodesic flow varies in a C 1 -way along (uniformly) C 1 -perturbations of the metric. This result generalizes former work of Katok (1982) and Katok-Knieper-Weiss (1991) in the compact case.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで負に曲がった多様体における計量摂動下でのトポロジカルエントロピーの正則性に関する結果の欠如を解決すること。
• ボーエン＝マーガリス測度が小さな$C^2$計量変化のもとで有限かつ連続となるような、SPR（強く正再帰的）と呼ばれる新しい多様体クラスを定義すること。
• コンパクト多様体におけるKatok-Knieper-Weissのトポロジカルエントロピーの$C^1$正則性結果を非コンパクト多様体へ一般化すること。
• 無限大における測地線電流を用いたエントロピーの変換則を確立し、非コンパクトな設定におけるエントロピー変動を制御すること。
• 計量摂動下でボーエン＝マーガリス測度の有限性と弱-*連続性を保証する幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 多様体の非コンパクトな端における漸近的エントロピー寄与を定量化するため、'無限大におけるエントロピー'の概念を導入する。
• 無限大におけるエントロピーとトポロジカルエントロピーの間に臨界的ギャップを有する多様体としてSPR多様体を定義し、有限なボーエン＝マーガリス測度の存在を保証する。
• 無限大における測地線電流を用いて、異なる計量下での測地線フローの力学的性質を関連づけ、一様に同値な計量のもとでの視界境界の標準的同型を活用する。
• シャドーイング性質と準測地線技術を用いて、長時間にわたりコンパクト集合を避けるベクトルの集合の測度に対する一様な指数的減衰推定を確立する。
• ボーエン＝マーガリス測度の積構造を応用し、コンパクト集合から出たり戻ったりする集合の測度を抑え、視界境界の近傍の測度の減衰に依存する。
• 摂動パrameter $\varepsilon$ に依存しない、大きなコンパクト集合の近傍外の集合の測度の均等な減衰を示すことにより、$C^2$計量変化のもとでのボーエン＝マーガリス測度の弱-*連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量摂動下でのトポロジカルエントロピーの$C^1$正則性は、コンパクトから非コンパクトな負に曲がった多様体へ拡張可能か？
• RQ2 非コンパクトな設定において、$C^2$計量変化のもとでボーエン＝マーガリス測度の有限性と連続性を保証する幾何的条件は何か？
• RQ3 無限大におけるエントロピーの概念をどのように厳密に定義し、非コンパクト多様体上の測地線フローの力学的挙動を特徴づけるために用いることができるか？
• RQ4 無限大における測地線電流は、計量摂動下でのエントロピー変動を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 どの非コンパクト多様体が最大エントロピー測度を有限に持ち、計量変形のもとでエントロピーが滑らかに変化可能か？

主な発見

• SPR多様体のクラスには、有限体積の双曲多様体、スペクトルギャップを有する幾何的に有限な多様体、シュットキー積の例が含まれ、これらはすべて有限なボーエン＝マーガリス測度を有する。
• SPR多様体において、ボーエン＝マーガリス測度は、一様な$C^2$計量摂動のもとで弱-*位相で連続的に変化する。
• 測地線フローのトポロジカルエントロピーは、一様な$C^2$-摂動の下で$C^1$-滑らかであり、その微分は公式 \\left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0}h_{\text{top}}(g_{\lambda}) = -h_{\text{top}}(g_0) \int_{S^{g_0}M} \left.\frac{d}{d\lambda}\right|_{\lambda=0} |v|^{g_\lambda} d\overline{m}_{\text{BM}}^{g_0}(v) \\ で与えられる。
• コンパクト集合$W$を時間$T$の間避けるベクトルの集合の測度は、$e^{-\beta T}$の速度で指数的に減少し、摂動パrameter $\varepsilon$ に一様に依存しない。これにより、エントロピー変動に対する一様な制御が可能になる。
• 証明は、長時間にわたりコンパクト集合外に留まるベクトルの集合の測度に対する一様な指数的減衰推定に依拠しており、その減衰率は$\varepsilon$に依存しない。
• 鍵となる技術的ステップは、十分大きな$R$に対して、$ m_{\text{BM}}^{g_\varepsilon}(S^{g_\varepsilon}(M\setminus W_R)) \leq \alpha $ が$\varepsilon$に一様に成り立つことの証明であり、これは測度族の弱-*連続性を示唆する。