[論文レビュー] Regularity of Minimizers of Shape Optimization Problems involving Perimeter

Guido De Philippis, Jimmy Lamboley+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、境界素数とPDE関連汎関数（例：ディリクレエネルギー、スペクトル汎関数）を組み合わせた形状最適化問題における最小化解の存在および正則性を確立する。著者らは、最小化解が境界素数の準最小化解であることを示し、一般の汎関数Gに関する仮定のもとで、符号が変化するデータや高次の固有値に対しても、余次元が8より大きい集合を除いてC¹,α正則性を示す。

ABSTRACT

We prove existence and regularity of optimal shapes for the problem$$\\min\\Big\\{P(\\Omega)+\\mathcal{G}(\\Omega):\\ \\Omega\\subset D,\\ |\\Omega|=m\\Big\\},$$where $P$ denotes the perimeter, $|\\cdot|$ is the volume, and the functional $\\mathcal{G}$ is either one of the following:\ extless{}ul\ extgreater{}\ extless{}li\ extgreater{} the Dirichlet energy $E\\_f$, with respect to a (possibly sign-changing) function $f\\in L^p$;\ extless{}/li\ extgreater{}\ extless{}li\ extgreater{}a spectral functional of the form $F(\\lambda\\_{1},\\dots,\\lambda\\_{k})$, where $\\lambda\\_k$ is the $k$th eigenvalue of the Dirichlet Laplacian and $F:\\mathbb{R}^k\ o\\mathbb{R}$ is Lipschitz continuous and increasing in each variable.\ extless{}/li\ extgreater{}\ extless{}/ul\ extgreater{}The domain $D$ is the whole space $\\mathbb{R}^d$ or a bounded domain. We also give general assumptions on the functional $\\mathcal{G}$ so that the result remains valid.

研究の動機と目的

• 境界素数とPDEに基づく汎関数を含む形状最適化問題における最適形状の存在および正則性を確立すること。
• 非負のデータやk=1固有値の古典的状況を越えて、正則性結果を拡張すること。
• 境界正則化形状問題における準最小化子および正則性に関する先行研究を統合・一般化すること。
• ディリクレエネルギーにおける符号が変化するf ∈ L^pや、Lipschitzかつ増大関数Fであるスペクトル汎関数F(λ₁,…,λ_k)を含む一般汎関数G(Ω)を取り扱うこと。
• 最小化解が境界素数の準最小化解であることを証明し、これにより小さな特異集合を除いて高次の正則性が得られることを示すこと。

提案手法

• 有限境界を持つ可測集合のクラスにおける緩めた形状最適化を用い、コンパクト性および下半連続性により存在を保証する。
• 部分解・上解の技法およびペナルティ法を適用し、境界素数汎関数の局所的準最小化性を導出する。
• 最適形状Ω*がP + G + μ|·|の下で部分解であるという事実を活用し、有界性および正則性を導く。
• torsion関数w_Ω*がリプシッツ連続であることを証明し、内部準最小化推定式の適用を可能にする。
• Alt–Caffarelliの自由境界正則性枠組みの一般化版を適用し、Ω*がα > d−1を満たす準最小化条件(1.3)を満たすことを示す。
• 内部準最小化性および既知の準最小化子の正則性理論を用いて、削減境界および小さな特異集合のC¹,α正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 |Ω| = m の下でP(Ω) + G(Ω)の最小化解が境界素数の準最小化解であるための条件は何か？
• RQ2 符号が変化するデータや高次の固有値を含む汎関数Gに対して、最適形状の正則性は、k=1の場合を越えて確立可能か？
• RQ3 Gに関するどのような一般仮定が、最小化解の有界性およびC¹,α正則な削減境界を保証するか？
• RQ4 自由境界形式を用いない境界正則化形状問題に対して、部分解・上解法はどのように適合可能か？
• RQ5 torsion関数のリプシッツ連続性が内部準最小化性を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• p > d に対して任意のf ∈ L^p(D)について、|Ω| = m の下でP(Ω) + E_f(Ω)の最小化解は境界素数の準最小化解であり、余次元>8の集合を除いてC¹,α正則性を示す。
• G(Ω)がF(λ₁,…,λ_k)というスペクトル汎関数であり、Fがリプシッツかつ増大関数である場合、P(Ω) + G(Ω)の最小化解も境界素数の準最小化解である。
• Gに関する一般仮定のもとで、fが符号を変える場合やDが有界であっても、最小化解は有界である。
• 削減境界∂*Ω* ∩ Dは(α−d+1)/2 > 0を満たすC¹,α正則性を示し、特異集合のハウスドルフ次元は≤ d−8である。
• 証明により、最適形状が開集合であり、状態関数が符号を変える場合でも完全な正則性(1.4)を満たすことが示された。
• 先行研究を一般化する結果であり、f ∈ L^p（p > d）の符号変化を許容し、任意のk ≥ 1に対するスペクトル汎関数に対しても仮定を緩和した。