[論文レビュー] Regularity of projections revisited

Charles A. Akemann, Søren Eilers|ArXiv.org|Jun 19, 2000

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、C*-代数の二重双対における開かつ稠密な射影の正則性を検討し、特に Murray-von Neumann同値の文脈における開射影に関して考察する。すべての開かつ稠密な射影が正則であるとは限らないことが示され、特に単純なC*-代数においても同様である。AF代数および2^∞ UHF代数における反例が提示されるとともに、有限次元補空間や最小射影の不在といった十分条件によって、このような射影が正則であることが確立されている。

ABSTRACT

The concept of regularity in the meta-topological setting of projections in the double dual of a C*-algebra addresses the interrelations of a projection p with its closure, for instance in the form that such projections act identically, in norm, on elements of the C*-algebra. This concept has been given new actuality with the recent plan of Peligrad and Zsido to find a meaningful notion of Murray-von Neumann type equivalence among open projections. Although automatic in the commutative case, it has been known since the late sixties that regularity fails for many projections. The original investigations, however, did not answer a question such as: "Are all open and dense projections regular in A, when A is simple?" We report here that this and related questions have negative answers. In the other direction, we supply positive results on regularity of large open projections.

研究の動機と目的

• すべての開かつ稠密な射影が単純C*-代数において正則であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• PeligradとZsidoの開射影におけるMurray-von Neumann同値に関するプログラムにおける正則性の失敗を調査すること。
• C*-代数における正規化されたノルム1の正要素bを用いて定義されるノルム‖·‖_bが常にノルムであるかどうかを検証すること。
• 特に最小射影が存在しない状況下で、大きな開かつ稠密な射影が正則であるための十分条件を特定すること。
• C*-代数の二重双対における位相的性質（開、稠密、閉）と正則性の相互作用を明確にすること。

提案手法

• A⁺に属するb（‖b‖ = 1）に対して、‖x‖_b = supₙ ‖x b^{1/n} x*‖^{1/2} で定義される準ノルムを用いて、二重双対における正則性を分析する。
• 射影p ∈ A**が正則であるための必要十分条件である、すべてのa ∈ Aに対して‖a‖ = ‖ap‖が成り立つという特徴づけを適用する。
• 型Iおよび反初期的成分への分解を用いて、問題を1 - z（原子的表現の中心的被覆）に支配される射影に還元する。
• 連続的トレースC*-代数のスペクトルにおける圏論的議論を用いて、中心的被覆の可算和が稠密であることを示す。
• C*-代数の構造的結果を適用する：型Iおよび反初期的部品への分解、連続的トレースイデアルの存在、最小射影の性質。
• 閉射影は正則であり、正則性は二重双対における特定の上限および補集合に関して保存されることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純C*-代数において、すべての開かつ稠密な射影は正則か？
• RQ2 C*-代数における正規化されたノルム1の非零除算子bに対して、‖·‖_bは常にノルムか？
• RQ3 ‖·‖_b ≠ ‖·‖ となるような正規化されたノルム1の非零除算子bを有するC*-代数は存在するか？
• RQ4 pₙが最小射影であるとき、1 - ⋁pₙ の形をした射影が正則かつ稠密である条件は何か？
• RQ5 AF代数において、開かつ稠密な射影の正則性の失敗を体系的に特徴づけることは可能か？

主な発見

• 開かつ稠密な射影が正則でないAF代数が存在し、単純C*-代数においてすべての同様の射影が正則であるという疑問に否定的に答える。
• 正規化されたノルム1の非零除算子bに対して、‖·‖_bは常に準ノルムであるが、ノルムであるとは限らない。
• 2^∞ UHF代数において、‖·‖_b ≠ ‖·‖ となる正規化されたノルム1の非零除算子bが存在し、非正則な開かつ稠密な射影の存在を示唆する。
• A**における最小射影の可算族{pₙ}がAに有限個しか含まれない場合、q = 1 - ⋁pₙ は正則かつA**において稠密である。
• C*-代数に最小射影が存在せず、pₙが純粋状態のサポート射影であるとき、1 - ⋁ₙ pₙ の形をした射影は正則かつ稠密である。
• Aが連続的トレースをもち、{pₙ}が可算個の最小射影の族であるとき、1 - ⋁pₙ は正則かつ稠密である。なぜならその中心的被覆がスペクトルにおいて稠密だからである。