[論文レビュー] Regularity of solutions for the critical $N$-dimensional Burgers' equation

Chi Hin Chan, Magdalena Czubak|ArXiv.org|Oct 17, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CaffarelliとVasseurが考案した修正版放物型De Giorgi法を模倣し、初期データが $L^2(\bbR^N)$ に属する場合の臨界 $N$-次元バーガー方程式に対する解の全域的正則性と滑らかさを確立する。弱解が局所 Hölder 継続的であることを証明し、それによって滑らかさが保証される。1次元周期的ケースにおける正則性結果を一般の $N$-次元設定へ拡張する。

ABSTRACT

We consider the fractional Burgers' equation on $\R^N$ with the critical dissipation term. We follow the parabolic De-Giorgi's method of Caffarelli and Vasseur \cite{Driftdiffusion} and show existence of smooth solutions given any initial datum in $L^2(\R^N)$.

研究の動機と目的

• 初期データが $L^2(\bbR^N)$ に属する臨界 $N$-次元バーガー方程式に対する全域的正則解の存在を確立すること。
• CaffarelliとVasseurの放物型De Giorgi法を、非準地軸的で非線形なバーガー方程式の設定へ拡張すること。
• 弱解が局所 Hölder 継続的であり、したがって滑らかであることを証明すること。周期性やBesov空間の仮定がなくても成立する。
• 従来の結果が1次元または周期的設定に限られていた高次元における正則性問題に取り組むこと。
• CaffarelliとVasseurの手法が、非線形対流項 $\theta \nabla \theta$ と臨界的分数階拡散 $(-\triangle)^{1/2}$ を有する方程式に適応可能であることを示すこと。

提案手法

• CaffarelliとVasseur [2] の放物型De Giorgi法を、$\theta_0 \notin L^p$（$p>2$）である臨界 $N$-次元バーガー方程式に適応する。
• 分数階ラプラシアン $(-\triangle)^{1/2}$ の構造に由来する、解の正の部分に対する局所エネルギー不等式を用いる。
• 上半空間における境界推定を用いて、非局所項 $(-\triangle)^{1/2}\theta$ を調節するための調和拡張技術を用いる。
• Hölder連続性推定に基づくブートストラップ法を適用し、$C^\beta$ 正則性が反復的に $C^\rho$（すべての $\rho < 1$）へ改善されることを示す。
• Riesz変換に由来する特異積分作用素を、点ごとの推定とポisson核の減衰性質を用いて制御する。
• 放物型シリンダーにおける反復的減衰とスケーリングの議論を通じて、解およびその微分の $L^\rho$ 界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型De Giorgi法は、臨界的準地軸的方程式から臨界的バーガー方程式へ、$N$ 次元に拡張可能か？
• RQ2 任意の $L^2(\bbR^N)$ 初期データが、臨界 $N$-次元バーガー方程式に対して全域的滑らかな解を生成するか？
• RQ3 弱解の局所 Hölder 継続性が、臨界 $N$-次元設定において滑らかさを保証するのに十分か？
• RQ4 CaffarelliとVasseurの手法は、発散なしの速度場が存在しない状況下で、非線形項 $\theta \nabla \theta$ を取り扱えるか？
• RQ5 臨界的拡散 $(-\triangle)^{1/2}$ は、高次元における一般の $L^2$ 初期データに対して正則性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の初期データ $\theta_0 \notin L^p$（$p>2$）に対して、すべての $\rho<\rho_0$ に対して $L^\rho_{\text{loc}}((0,\rho)\times\bbR^N)$ に属するが、$\rho>2$ のとき $\theta \notin L^\rho$ である全域弱解 $\theta$ が存在する。
• 解 $\theta$ はすべての $\rho<\rho_0$ に対して $L^\rho_{\text{loc}}((0,\rho)\times\bbR^N)$ に属し、$N>2$ のとき $\rho_0 = \frac{2N}{N-2}$、$N=2$ のとき $\rho_0 = \rho$ である。
• 解は空間的・時間的に局所 Hölder 継続的であり、Hölder 指数 $\beta$ は $2\beta < 1$ を満たす。
• 非局所項の正則性に基づくブートストラップ法により、解 $\theta$ は滑らか（すなわち、すべての $\rho < 1$ に対して $C^\rho$）である。
• この手法により、解がすべての $\rho < \rho_0$ に対して $L^\rho$ に有界に保たれることを保証する。$N>2$ のとき $\rho_0 = \frac{2N}{N-2}$ である。
• 証明により、$C^\beta$ 正則性がすべての $\beta' < 1$ に対して $C^{\beta'}$ 正則性を導き、結果としてすべての $\rho < 1$ に対して $C^\rho$ 正則性が得られる。