[論文レビュー] Regularity of stable solutions up to dimension 7 in domains of double revolution

Xavier Cabré, Xavier Ros‐Oton|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般の非線形性条件下で、次元7以下の双回転凸領域における半線形楕円型方程式 $-\Delta u = \lambda f(u)$ の極値解の有界性を確立する。単項式重みを用いた新規の重み付きソボレフおよび等周不等式を用いて、安定解に対する $L^\infty$ および $H^1_0$ 界を導出し、$n \leq 7$ のとき極値解が有界であることを証明する。これは、従来の回転対称性のケースを超えた結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We consider the class of semi-stable positive solutions to semilinear equations $-Δu=f(u)$ in a bounded domain $Ω\subset\mathbb R^n$ of double revolution, that is, a domain invariant under rotations of the first $m$ variables and of the last $n-m$ variables. We assume $2\leq m\leq n-2$. When the domain is convex, we establish a priori $L^p$ and $H^1_0$ bounds for each dimension $n$, with $p=\infty$ when $n\leq7$. These estimates lead to the boundedness of the extremal solution of $-Δu=λf(u)$ in every convex domain of double revolution when $n\leq7$. The boundedness of extremal solutions is known when $n\leq3$ for any domain $Ω$, in dimension $n=4$ when the domain is convex, and in dimensions $5\leq n\leq9$ in the radial case. Except for the radial case, our result is the first partial answer valid for all nonlinearities $f$ in dimensions $5\leq n\leq 9$.

研究の動機と目的

• 領域が二重回転対称性（回転対称性の一般化であり、一般の凸領域より単純）である場合に、$-\Delta u = \lambda f(u)$ の安定解の正則性を確立すること。
• 従来の結果（$n \leq 9$）を回転対称性のケースを超えて拡張し、特に $5 \leq n \leq 9$ のギャップを埋めること。
• すべての次元 $n \leq 7$ に対して、凸二重回転領域における半安定解の $L^\infty$ および $H^1_0$ 界を証明すること。
• 単項式重みを用いた新規の重み付きソボレフおよび等周不等式を導出し、正則性解析の中心的役割を果たすこと。

提案手法

• 著者らは、最初の $m$ 変数および最後の $k$ 変数における回転対称性を有する領域を分析し、$2 \leq m \leq n-2$ の条件下で、回転対称性を用いて問題を2次元設定に還元する。
• $\mathbb{R}_+^2$ 上に重み付き測度 $\sigma^a \tau^b d\sigma d\tau$ を導入し、ここで $\sigma$ および $\tau$ は2つの直交する部分空間における径方向距離を表す。
• この重み付き測度の下で、$\mathbb{R}_+^2$ 内の集合に対して新しい等周不等式を証明し、重み付き周囲が重み付き測度を $D-1/D$ のべきで制御することを示す。ここで $D = a + b + 2$ である。
• この等周不等式を用いて、重み $\sigma^a \tau^b$ の下で $1 \leq q < D$ に対して $\|u\|_{L^{q^*}} \leq C \|\nabla u\|_{L^q}$ の形の重み付きソボレフ不等式を導出する。ここで $q^* = \frac{Dq}{D-q}$ である。
• このソボレフ不等式を、次元を削減した2次元領域における変換された解に適用し、安定解に対する $L^p$ および $H^1_0$ 界を導出する。
• これらの界を用いて、$n \leq 7$ のとき、凸二重回転領域における極値解 $u^*$ の有界性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n \leq 9$ の非回転的凸領域において、$-\Delta u = \lambda f(u)$ の極値解 $u^*$ が有界であることを示せるか？
• RQ2 安定解の正則性結果を回転対称性のケースを超えて拡張する際、対称性の役割は何か？
• RQ3 単項式重みを用いた新しい重み付きソボレフ不等式を構築し、対称領域における解の成長を制御できるか？
• RQ4 回転対称性がなくても、次元 $n \leq 7$ の二重回転領域において、極値解の有界性は成立するか？
• RQ5 二重回転領域の構造は、一般の凸領域と比較して、なぜ正則性推定値を改善できるのか？

主な発見

• すべての凸二重回転領域において、$n \leq 7$ のとき、任意の非線形性 $f$ が与えられた条件を満たす限り、極値解 $u^*$ は $L^\infty(\Omega)$ で有界である。
• 著者らは、このような領域における半安定解に対して $L^p$ および $H^1_0$ 界を確立し、$n \leq 7$ のとき $p = \infty$ であるため、極値解の有界性が示される。
• $\sigma^a \tau^b d\sigma d\tau$ 測度の下で、$\mathbb{R}_+^2$ において新しい重み付き等周不等式を証明し、ある幾何的性質を満たす集合に対して $m(E)^{(D-1)/D} \leq C \, m(\partial E \cap \mathbb{R}_+^2)$ が成り立つことを示した。
• これに対応する重み付きソボレフ不等式が導出され、$1 \leq q < D$ に対して、同じ重みの下で $\|u\|_{L^{q^*}} \leq C \|\nabla u\|_{L^q}$ が成り立つ。ここで $D = a + b + 2$ である。
• この手法により、一般の非線形性 $f$ に対して、$f(0) > 0$ かつ $\tau \to \infty$ のとき $f'(\tau)/\tau \to \infty$ を満たす場合を含め、次元7以下の凸二重回転領域における安定解に対して $L^\infty$ 界が得られる。
• これは、$5 \leq n \leq 9$ の範囲で、非回転的かつ一般非線形性の下での有界性の最初の拡張であり、高次元における未解決問題の解決に向けて重要な一歩を提供する。