[論文レビュー] Regularity of the distance function to the boundary

Yanyan Li, Louis Nirenberg|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、境界が $C^{k,\beta}$ であり $k \geq 2$ かつ $0 < \beta \leq 1$ である滑らかなフィンスラー多様体の領域において、境界への距離関数の $C^{k,\beta}$ 正則性を確立する。特殊なノーマル座標と測地線の2次変分解析を用いて、最近接境界点が一意である集合 $G$ において距離関数が $C^{k,\beta}$ であることを証明し、ハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a domain in a smooth complete Finsler manifold, and let $G$ be the largest open subset of $Ω$ such that for every $x$ in $G$ there is a unique closest point from $\partial Ω$ to $x$ (measured in the Finsler metric). We prove that the distance function from $\partial Ω$ is in $C^{k,α}_{loc}(G\cup \partial Ω)$, $k\ge 2$ and $0

研究の動機と目的

• 境界が $C^{k,\alpha}$ であるフィンスラー多様体において、境界への距離関数の $C^{k,\alpha}$ 正則性を確立すること。ただし $k \geq 2$ かつ $0 < \alpha \leq 1$ である。
• ジョエル・スプラックが提起したリーマン多様体における距離関数の正則性に関する問題を、フィンスラー設定に拡張して解決すること。
• 最近接法測地線が境界近傍から一意に最短路である点の近傍における局所的正則性結果を提供すること。
• 点 $X \in \Omega$ の近傍で距離関数が $C^{k,\alpha}$ であることを、$X$ より先に共役点が存在し、測地線が一意である場合に証明すること。
• 距離 $d$ と最近接境界点 $y$ を与える写像 $X \mapsto (d, y)$ のヤコビアンが非特異であることを確立すること。ただし $X = e_n$ で評価する。

提案手法

• 境界上の点を中心とする特別なノーマル座標を用いる。ここで $x_n$-軸は法測地線であり、原点においてフィンスラー計量が特定の正規化条件を満たす。
• 弧長の2次変分を適用して共役点を特徴付け、共役点以降では最小化測地線の一意性が保証されることを確認する。
• フィンスラー計量 $\varphi$ に以下の条件を課す：$\varphi(te_n; e_n) \equiv 1$、$\varphi_{v^\alpha}(te_n; e_n) \equiv 0$、$\varphi_{v^n}(te_n; e_n) \equiv 1$。これにより正規性と滑らかさが保証される。
• パラメータ族としての測地線を用いて、点 $X \in \Omega$ における最近接境界点 $y$ の依存関係を分析し、写像 $X \mapsto (d, y)$ に対して陰関数定理を適用する。
• 境界関数のヘッセ行列の非退化性と、$\varphi$ の接続方向における2次微分の正定値性を用いて、ヤコビアンが非特異であることを保証する。
• ヤコビアンの非特異性を証明するために、ヘッセ行列が正定値である $C^{2,1}$ 関数 $\tilde{f}$ を比較関数として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィンスラー多様体の領域における境界への距離関数が、最近接境界点が一意である集合 $G$ において $C^{k,\alpha}$ であるための条件は何か？
• RQ2 境界 $\partial\Omega$ が $C^{k,\alpha}$ であるならば、$G$ において距離関数も $C^{k,\alpha}$ であると示せるか？
• RQ3 共役点の不在が距離関数の正則性を保証する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 境界近傍からの最小化測地線の一意性が距離関数の正則性に与える影響は何か？
• RQ5 最小化測地線が一意で、共役点が $X$ より先にある点 $X$ において、写像 $X \mapsto (d(X), y(X))$ のヤコビアンが非特異であることを示せるか？

主な発見

• 境界 $\partial\Omega$ が $C^{k,\alpha}$ であり $k \geq 2$ かつ $0 < \alpha \leq 1$ であるとき、最近接境界点が一意である集合 $G$ において、距離関数 $d(X)$ は $C^{k,\alpha}_{\text{loc}}(G \cup \partial\Omega)$ に属する。
• 最近接境界点 $y(X)$ は、最小化測地線が一意で共役点が $X$ より先にある点 $X$ の近傍 $A$ において $C^{k-1,\alpha}_{\text{loc}}(A)$ に属する。
• 与えられた条件下で、写像 $X \mapsto (d(X), y(X))$ のヤコビアンは $e_n$ で非特異であり、これにより $d(X)$ の局所的 $C^{k,\alpha}$ 正則性が保証される。
• ヤコビアンの非特異性は、ヘッセ行列が正定値である $C^{2,1}$ 関数 $\tilde{f}$ を比較関数として用いることで確立され、微分の行列式が非ゼロであることが保証される。
• 共役点までで弧長の2次変分が正定値であることが保証され、これによりそれ以降に短い測地線が存在しないことが示され、最小化測地線の一意性と正則性が裏付けられる。
• 幾何的関係を記述する重要な恒等式 $D^2_{v'}\varphi(0'; e_n) \nabla V'(0') + D^2f(0') = 0$ は、フィンスラー計量の幾何と境界の第二基本形式を結びつけるものであり、正則性の証明を可能にする。