[論文レビュー] Regularity of the extremal solutions associated to elliptic systems

A. Aghajani, Craig Cowan|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形項が上線形である完全結合楕円型系の極値解の有界性（L∞正則性）を確立する。非線形項の漸近的挙動を比 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $ を用いて分析することで、極値解が次の場合に有界であることを証明する：次元 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $、ここで $ \alpha_* $ は $ \tau_- $ と $ \tau_+ $ から導かれる二次多項式の最大根である。この結果により、$ N < 5 $ では常に $ L^\infty $ 正則性が得られ、$ \tau_- = \tau_+ = \tau $ の場合、有界性の範囲は $ N < 10 $ まで拡張される。

ABSTRACT

We examine the elliptic system given by \begin{eqnarray*} \qquad \left\{ \begin{array}{lcl} -Δu =λf(v) \quad \mbox{ in } Ω -Δv =γf(u) \quad \mbox{ in } Ω, u=v =0, \quad \mbox{ on } \pOm \end{array} ight. \end{eqnarray*} where $λ,γ$ are positive parameters, $Ω$ is a smooth bounded domain in $\IR^N$ and $f$ is a $C^{2}$ positive, nondecreasing and convex function in $[0,\infty)$ such that $\frac{f(t)}{t} ightarrow\infty$ as $t ightarrow\infty$. Assuming $$01$ denotes the largest root of the $2^{nd}$ order polynomial $$P_{f}(α,τ_{-},τ_{+}):=(2-τ_{-})^{2} α^{2}- 4(2-τ_{+})α+4(1-τ_{+}).$$ As a consequences, $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;5$. Moreover, if $τ_{-}=τ_{+}$, then $u^*, v^*\in L^\infty(Ω)$ for $N&lt;10$.

研究の動機と目的

• 完全結合楕円型系に於ける凸的かつ上線形非線形項を有する極値解の正則性に関する未解決問題を解消すること。
• 極値解が特異化する可能性がある次元の最適な閾値 $ N(f) $ を特定すること。
• $ f(t) = e^t $ および $ f(t) = (1+t)^p $ に対する既知の結果を、$ \tau_{-} \leq \tau_{+} < 2 $ を満たすより広い非線形項のクラスに拡張すること。
• 非線形項 $ f $ の漸近的凸性に依存する、極値解が $ L^\infty(\Omega) $ で有界であるための次元 $ N $ の鋭い境界を導出すること。

提案手法

• 最小解の安定性から導かれる半安定性不等式 $ \sqrt{\lambda\gamma}\int \sqrt{f'(u)f'(v)}\phi^2 \leq \int |\nabla\phi|^2 $ を、すべての $ \phi \in H^1_0(\Omega) $ に対して用いる。
• 局所化のための重み付きテスト関数技法を導入し、$ \tilde{f}(t) = \max\{f(t), T\} $ を用いることで、$ u $ と $ v $ が大きい値に集中する領域での解析を可能にし、$ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ の $ L^1 $ 評価を可能にする。
• ホルダーの不等式と対称性の議論を用いて、$ I = \int f'(u)^{1/2 - \alpha}f'(v)^{1/2}\tilde{f}(u)^{2\alpha} $ と $ J = \int f'(v)^{1/2 - \alpha}f'(u)^{1/2}\tilde{f}(v)^{2\alpha} $ の推定値を結合し、両者が無限大であると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 二次多項式 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $ を導出し、$ \alpha_* > 1 $ をその最大根として選び、臨界次元を定義する。
• $ f'(v)^{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+} \in L^1(\Omega) $ および $ f'(v)^{\frac{(2-\tau_+)\alpha_* + \tau_+}{\tau_+}} \in L^1(\Omega) $ を証明した後、標準的な楕円型正則性理論を適用することで、$ v^* $ の有界性（対称性により $ u^* $ の有界性も含む）を保証する。
• $ \alpha > 1 $ かつ $ \tau_+ < 2 $ の場合に $ f'(t)^{1/2 - \alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ が十分大きな $ t $ で増加することを用いて、可積分性と成長の制御を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $ f $ がどのような条件下で、系 $ -\Delta u = \lambda f(v), -\Delta v = \gamma f(u) $ の極値解 $ (u^*, v^*) $ が $ L^\infty(\Omega) $ で有界となるか？
• RQ2 極値解 $ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $ が成り立つ次元の最適な閾値 $ N(f) $ は何か？ これは $ f $ の漸近的挙動に依存する。
• RQ3 正則性の閾値は比 $ \tau_{\pm} = \lim_{t\to\infty} \frac{f(t)f''(t)}{f'(t)^2} $ にどのように依存するか？ 特に $ \tau_- = \tau_+ $ の場合に注目する。
• RQ4 $ f(t) = e^t $ の場合に知られている $ L^\infty $ 正則性（$ N < 10 $ まで有効）が、同じ $ \tau $ 値を持つより広い非線形項のクラスに一般化可能か？
• RQ5 すべての半安定解に対して、$ \lambda, \gamma $ に依存しない一様な $ L^1 $ 界が $ f'(t)^{1-\alpha}\tilde{f}(t)^{2\alpha} $ に対して存在するか？ そのような境界が存在すれば、$ L^\infty $ 正則性が保証されるか？

主な発見

• 極値解 $ (u^*, v^*) $ は、次元 $ N < \frac{2\alpha_*(2-\tau_+)+2\tau_+}{\tau_+}\max\{1,\tau_+\} $ に対して $ L^\infty(\Omega) $ で有界である。ここで $ \alpha_* > 1 $ は二次多項式 $ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) = (2-\tau_-)^2\alpha^2 - 4(2-\tau_+)\alpha + 4(1-\tau_+) $ の最大根である。
• $ N < 5 $ の場合、$ \tau_+ < 2 $ であれば、特定の $ f $ に依存せずに常に極値解が $ L^\infty(\Omega) $ で有界である。
• $ \tau_- = \tau_+ = \tau $ の場合、$ u^*, v^* \in L^\infty(\Omega) $ は $ N < 10 $ に対して成り立ち、境界 $ N(f) = 2 + 4\frac{1+\sqrt{\tau}}{\tau} \geq 10 $ で等号が成り立つ。
• $ f(t) = e^t $ または $ f(t) = e^{t^\alpha} $ の場合、$ \tau_- = \tau_+ = 1 $ により $ N(f) = 10 $ が得られ、指数非線形項に対する既知の結果が再現される。
• $ f(t) = (1+t)^p $（$ p > 1 $）の場合、境界は $ N(f) = 2 + \frac{4}{p-1}(p + \sqrt{p^2 - p}) $ に簡略化され、[2] および [6] の先行結果と一致する。
• 証明により、$ I $ と $ J $ が両方とも無限大であると仮定すると、$ P_f(\alpha, \tau_-, \tau_+) \geq 0 $ が成り立つ必要があるが、これは $ \alpha $ を $ \alpha_* $ の近くに選ぶことと矛盾する。このことから、主要な重み関数に対する一様な $ L^1 $ 界が得られる。