[論文レビュー] Regularity of the Solution to 1-D Fractional Order Diffusion Equations

Vincent J. Ervin, Norbert Heuer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は1次元における分数階拡散作用素の新しい解釈を提案し、リーマン＝リウヴィル型およびキャプト型ではないと主張している。代わりに、1階微分と分数階積分の合成によって定義される。作用素の核を特定し、Jacobi多項式が擬似固有関数であることを証明し、重み付きJacobi関数を用いたスペクトル法を構築した。この方法は、$ (N+2)^{-\beta} $ のスペクトル収束率を達成し、$ \beta = \alpha $、$ \alpha \in (1,2) $ である。この方法は重み付き $ L^2 $ 空間において最適収束性と可逆性を保証する。

ABSTRACT

In this article we investigate the solution of the steady-state fractional diffusion equation on a bounded domain in $ eal^{1}$. From an analysis of the underlying model problem, we postulate that the fractional diffusion operator in the modeling equations is neither the Riemann-Liouville nor the Caputo fractional differential operators. We then find a closed form expression for the kernel of the fractional diffusion operator which, in most cases, determines the regularity of the solution. Next we establish that the Jacobi polynomials are pseudo eigenfunctions for the fractional diffusion operator. A spectral type approximation method for the solution of the steady-state fractional diffusion equation is then proposed and studied.

研究の動機と目的

• 標準的なリーマン＝リウヴィル型およびキャプト型定義とは異なり、物理的に整合性のある分数階拡散作用素の再表現を図ること。
• 解の正則性を規定する作用素 $ \mathcal{L}_r^\alpha $ の核を同定すること。
• 最適収束率を保証する重み付きJacobi関数を用いたスペクトル法の開発。
• 提案されたスペクトル近似について、重み付き $ L^2 $ 空間における可逆性および事前誤差推定を確立すること。

提案手法

• 端点における特異性を回避するため、分数階微分を $ \mathbf{D}^\alpha u(x) = D \, \mathbf{D}^{-(2-\alpha)} \, D u(x) $ として新しい定義を提案する。
• 作用素 $ \mathcal{L}_r^\alpha $ の核を $ x^{\beta}(1-x)^{\alpha - \beta} $ と特定し、$ \beta $ を特定の条件を満たすように選ぶ。
• 新しい定義のもとで、Jacobi多項式が分数階作用素の擬似固有関数であることを示す。
• スペクトル近似 $ u_N(x) = \omega(x) \sum_{j=0}^N c_j \mathcal{G}_j(x) $ を構築し、$ \omega(x) = x^\beta(1-x)^{\alpha - \beta} $ であり、係数は内積により計算される。
• $ L^2 $ および重み付き $ L^2 $ ノルムにおける事前誤差推定を導出し、収束率 $ \|u - u_N\| \leq C (N+2)^{-\alpha} \|f\|_{\omega^*} $ を示す。
• スペクトル展開を用いて、$ \mathcal{L}_r^\alpha $ が $ L^2(0,1) $ 上で可逆であることを確立し、解が $ L^2_{\omega^{-1}}(0,1) $ 内にあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元定常拡散の文脈において、リーマン＝リウヴィル型およびキャプト型とは異なる、分数階微分の正しい物理的解釈は何か？
• RQ2 分数階微分の定義の選択が、両側分数階拡散方程式の解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 重み付きJacobi関数に基づくスペクトル法は、分数階拡散問題において最適収束率を達成できるか？
• RQ4 分数階拡散作用素の核の構造は何か？ そして、それが解の正則性をどのように決定するか？
• RQ5 $ \mathcal{L}_r^\alpha $ は $ L^2(0,1) $ 上で可逆か？ 解の属する関数空間は何か？

主な発見

• 分数階微分は $ \mathbf{D}^\alpha u(x) = D \, \mathbf{D}^{-(2-\alpha)} \, D u(x) $ として再定義され、端点における特異性を回避し、物理的拡散をよりよくモデル化する。
• $ \mathcal{L}_r^\alpha $ の核は $ x^\beta(1-x)^{\alpha - \beta} $ であり、その構造が解の正則性を決定づけ、パrameter $ r $ に依存する。
• 新しい定義のもとで、Jacobi多項式は分数階作用素の擬似固有関数である。これによりスペクトル近似が可能になる。
• 提案されたスペクトル法は収束率 $ \|u - u_N\| \leq C (N+2)^{-\alpha} \|f\|_{\omega^*} $ を達成し、理論的期待と一致する。
• $ \mathcal{L}_r^\alpha $ は $ L^2(0,1) $ 上で可逆であり、解は $ L^2_{\omega^{-1}}(0,1) $ 内に属する。これにより適切に定式化されていることが保証される。
• 数値実験により理論的収束率が確認され、端点におけるギブス型の振動が、特異性構造と整合的であることが示された。