[論文レビュー] Regularity of viscosity solutions defined by Hopf-type formula for Hamilton-Jacobi equations

Nguyen Hoang|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間依存ハミルトニアンを伴うハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解の正則性を、ホフ型公式を用いて調査する。主な焦点は、微分可能性と特異点の伝播である。解が時間前方のストリップ上で連続的に微分可能であるための条件を確立し、初期データとハミルトニアンが特定の整合性条件を満たす場合、特異点が時間的に前方に伝播することを示している。特徴曲線解析と最大化子集合の幾何学的性質を用いて証明している。

ABSTRACT

Some properties of characteristic curves in connection with viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations defined by Hopf-type formula are studied. We investigate the points where the Hopf-type formula $u(t,x)$ is differentiable, and the strip of the form $(0,t_0) imes \R^n$ of the domain $Ω$ where the viscosity solution $u(t,x)$ is continuously differentiable. Moreover, we present the propagation of singularity in forward of $u(t,x).$

研究の動機と目的

• 時間依存ハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解がホフ型公式によって定義される際の微分可能性特性を研究すること。
• 解が時間前方ストリップ $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上で連続的に微分可能となる条件を特定すること。
• 初期特異点から時間的に前方に特異点が伝播する仕組みを調査すること。
• 最大化子集合に基づく特徴曲線の分類を行い、それらが微分可能性および特異点構造とどのように関係するかを明らかにすること。
• 一次元ケースに関する先行研究を、最大化子集合に関する幾何学的および解析的技術を用いて、次元 $n > 1$ に拡張すること。

提案手法

• 解の表現としてホフ型公式 $u(t,x) = \max_{q\in\mathbb{R}^n} \{\langle x,q\rangle - \sigma^*(q) - \int_0^t H(\tau,q)\,d\tau\}$ を用いる。
• 最大化子 $q$ が $q$ における $\sigma$ の劣微分に属するかどうかに基づき、タイプ (I) および (II) の特徴曲線を分析する。
• 点を正則または特異的と分類するため、最大化子集合 $\ell(t,x)$ の濃度および構造を用いる。
• ハミルトニアンの勾配 $H_p$ から導かれる連続写像に対する不動点定理を用いて、特異点を結ぶ特徴曲線の存在を証明する。
• $\sigma^*$ の有効定義域の有界性と $H_p$ の一様連続性を用いて、時間区間全体での伝播を制御する。
• 陰関数定理と $H_p$ の連続性を用いて、局所的正則性およびストリップ上の微分可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホフ型公式によって定義される粘性解が、時間ストリップ $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上で連続的に微分可能となる条件は何か？
• RQ2 タイプ (I) および (II) の特徴曲線は、与えられた点における解の微分可能性とどのように関係するか？
• RQ3 解の特異点は時間的に前方に伝播することができるか？ もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 最大化子集合 $\ell(t,x)$ は、解の正則性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 ハミルトニアンが時間依存的かつ非凸的である場合、解の構造はどのように変化するか？

主な発見

• 初期データ $\sigma$ が凸かつリプシッツ連続で、ハミルトニアン $H(t,p)$ が連続的かつ $H_p$ が有界である場合、解 $u(t,x)$ はストリップ $(0,t_0)\times\mathbb{R}^n$ 上で連続的に微分可能である。
• 特異点 $(t_0,x_0)$ が存在する場合、$H_p$ が一様有界であれば、時空におけるその近傍で特異点が時間的に前方に伝播する。
• 集合 $\ell(t,x)$ がシングルトンであれば、解は点 $(t,x)$ で微分可能である。$\ell(t,x)$ に複数の点が含まれる場合、解は特異的である可能性がある。
• 特異点は時間的に前方に伝播する：任意の $t > t_0$ に対して、$x_0$ の周囲の半径 $m\epsilon$ の球内に特異点が存在する。ここで $m$ は時間区間依存の定数である。
• 例では、解は $(0,\frac{1}{\sqrt{2}})\times\mathbb{R}$ 上で連続的に微分可能であり、$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で特異点が現れる。$t > \frac{1}{\sqrt{2}}$ の領域における $x=0$ の線分は特異点の集合である。
• 点に複数の特徴曲線が存在しても、特異点を必ずしも示すわけではない。特異点が生じるのは、最大化子集合 $\ell(t,x)$ に複数の点が含まれる場合に限られ、かつその曲線がタイプ (II) である場合に限る。