[論文レビュー] Regularity properties of the degenerate Monge--Ampère equations compact Kähler manifolds

Mihai Păun|ArXiv.org|Sep 12, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、コンpact Kähler多様体上での退化Monge–Ampère方程式の解に対してHölder正則性を確立する。右辺の可積分性が制御されており、背景形式が半正定かつ正の体積を持つ場合に、解が小さな解析的例外集合の外でHölder空間$\mathcal{C}^{1, u}$に属することを示す。正則化、擬・ポテンシャル論、修正されたラプラシアン推定を用いて、Yauの正則性理論を対数的極特異点を伴う退化設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove a regularity result for the Monge--Ampère equations on compact Kaehler manifolds with degenerate rhs member.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上での退化Monge–Ampère方程式の解のHölder正則性を確立すること。ここで背景形式$\alpha$は半正定であり、正の体積を持つ。
• Yauの正則性理論を、$\alpha$が一部の点で消える可能性がある退化状況に拡張すること。これには、$\mathrm{tr}_\alpha \partial\bar\partial f$の非有界性を克服する必要がある。
• 右辺に台を持つ擬・強上への関数（対数的極特異点付き）の可積分性条件のもとで、解が小さな解析的例外集合$Y_\gamma$の外で$\mathcal{C}^{1,\gamma}$に属することを証明すること。
• 右辺の$\exp(-\psi)$が$L^1$可積分である場合に連続解の存在に関する予想を、より強い仮定の下で正則性結果を証明することで扱うこと。

提案手法

• 対数的極特異点を伴う擬・強上への関数$\psi_1, \psi_2$を、畳み込みまたは近似技術を用いて正則化する。
• 正則化された右辺を伴うMonge–Ampère方程式理論を適用し、非退化方程式におけるYauの存在・一意性結果に依拠する。
• 擬・ポテンシャル論およびKolodziejおよびEyssidieux–Guedj–Zeriahiによる$L^p$推定を用いて、正則化された解に対する一様$L^\infty$有界性を確立する。
• Kodairaの補題およびTsujiの手法にインspiredして、コhomology類内で形式$\alpha$を変更することにより、強い正定性を保証することで、一様な$\mathcal{C}^2$推定を導出する。
• 関数$\Phi_\varepsilon = \widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta$を用いた修正されたラプラシアン比較を適用し、複素ヘッセ行列を制御する。
• 最大原理を量$-2C\Phi_\varepsilon + \widehat{\psi}_{2;\varepsilon} + \log(n + \Delta_\varepsilon \Phi_\varepsilon)$に適用し、$\Delta_\varepsilon \Phi_\varepsilon$の一様有界性を導出し、Hölder制御を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上での退化Monge–Ampère方程式$(\alpha + \sqrt{-1}\partial\bar\partial \varphi)^n = \exp(\psi_1 - \psi_2)\omega^n$は、解がHölder空間$\mathcal{C}^{1,\gamma}$に属する条件は何か？
• RQ2 背景形式$\alpha$が一部の点で消えるが$\int_X \alpha^n > 0$を満たす場合、Kählerでない状況においてもMonge–Ampère方程式の正則性理論を拡張できるか？
• RQ3 右辺に含まれる対数的極特異点が解の正則性に与える影響はどの程度で、擬・ポテンシャル推定によって制御可能か？
• RQ4 Monge–Ampère方程式に連続解が存在する場合、$\exp(\psi_1 - \psi_2)$の可積分性条件下で、より高い正則性（例：Hölder連続性）が保証されるか？
• RQ5 KolodziejおよびEyssidieux–Guedj–Zeriahiの手法を、退化状況において$\mathcal{C}^{1,\gamma}$正則性を導くように適合可能か？

主な発見

• 各$\gamma \in [0,1)$に対して、閉じた解析的部分集合$Y_\gamma \subset X$が存在し、Monge–Ampère方程式の解$\varphi$は$X \setminus Y_\gamma$上で$\mathcal{C}^{1,\gamma}$に属する。
• 解$\varphi$は$X$上で一様に$L^\infty$ノルムで有界であり、$Y_\gamma$の外では$\mathcal{C}^{1,\gamma}$ノルムが正則化に依存しない定数によって制御される。
• 重要な推定$n + \Delta_\varepsilon(\widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta) \leq C \exp(-\widehat{\psi}_{2;\varepsilon} + 2C(\widehat{\varphi}_\varepsilon - \eta))$が$X_1 \setminus E$上で一様に成り立ち、最大原理の適用が可能になる。
• $\exp(-\widehat{\psi}_2 - 2C\eta)$は任意の$p > 0$に対して$\widehat{X} \setminus Y_p$上で局所$L^p$可積分である。これは正則化設定における局所可積分性を保証する。
• 系として、$\psi_1, \psi_2$が対数的極特異点をもち、$\int_X \exp(\psi_1 - \psi_2) dV_\omega < \infty$ならば、ある解析的集合$Y \subset X$に対して解$\varphi$は$X \setminus Y$上で滑らかであることが示され、以前の結果を非射影的多様体へ拡張する。
• 証明は、修正されたラプラシアン比較と、注意深く構築された補助関数に適用された最大原理に依拠しており、複素ヘッセ行列に対する一様制御をもたらす。