[論文レビュー] Regularity properties of the Stern enumeration of the rationals

Bruce Reznick|ArXiv.org|Oct 19, 2006

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、すべての正の有理数を正確に一度ずつ数える再帰的整数列であるスティーン数列の正規性に関する性質を調査する。平均比 $ s(n)/s(n+1) $ は $ \frac{3}{2} $ であり、$ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ は $ d $ を法とする可能な剰余類の集合上に一様に分布しており、$ d $ を法とする値の頻度について正確な漸近的密度の公式が得られる。

ABSTRACT

The Stern sequence (s(n)) is defined by s(0) = 0, s(1) = 1, s(2n) = s(n), s(2n+1) = s(n) + s(n+1). Stern showed in 1858 that gcd(s(n),s(n+1)) = 1, and that for every pair of relatively prime positive integers (a,b), there exists a unique n so that s(n) = a and s(n+1) = b. We show that, in a strong sense, the average value of s(n)/s(n+1) is 3/2, and that for all d, (s(n),s(n+1)) is uniformly distributed among all feasible pairs of congruence classes modulo d. More precise results are presented for d = 2 and 3.

研究の動機と目的

• 正の有理数のスティーン列における比 $ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ の平均値を確立すること。
• 法 $ d \geq 2 $ における連続するペア $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ の分布を調査すること。
• $ T(N;d,i) = \#\{n < N : s(n) \equiv i \pmod{d}\} $ の計数関数に対する正確な漸近的公式を導出すること。
• $ d = 3 $ の特殊ケースを分析し、正確な公式と $ T(N;3,1) - T(N;3,2) $ の差の境界を求める。
• 小さな整数を法とする数列におけるより深い構造的対称性および再帰的パターンを探索し、異なる法における計数関数の等価性に関する予想を提示すること。

提案手法

• スティーン数列を生成するために再帰的定義 $ s(0) = 0 $, $ s(1) = 1 $, $ s(2n) = s(n) $, $ s(2n+1) = s(n) + s(n+1) $ を使用する。
• $ d = 2 $ および $ d = 3 $ に対して、$ s(n) \mod d $ の分布を分析するために母関数と線形再帰を適用する。
• 誘導法と二項アレイの構造的解析を用いて、$ \mathcal{S}_d $（法 $ d $ における互いに素な剰余ペアの集合）上での $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ の一様分布を証明する。
• $ T(2^r; 3, 0) $ の正確な公式を、線形再帰の特性多項式を用いて導出し、$ \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ の誤差項を得る。
• $ \Delta(N) = T(N;3,1) - T(N;3,2) $ を導入し、それが $ \{0,1,2,3\} $ に有界であることを証明し、$ S_3(n) = (s(n) \mod 3, s(n+1) \mod 3) $ の値にのみ依存することを示す。
• 法 $ n $ の偶奇性に関する整数論的計算と場合分けを用いて、$ \Delta(2N) = \Delta(4N) $ を証明し、分布的性質の帰納的証明を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の有理数のスティーン列における $ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ の平均値は何か？
• RQ2 法 $ d $ におけるペア $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ は、$ d $ を法とする互いに素な剰余ペアの集合上でどれほど一様に分布しているか？
• RQ3 $ s(n) \equiv i \pmod{d} $ を満たす整数 $ n $ の漸近的密度 $ r_{d,i} $ は何か？
• RQ4 $ d = 3 $ の場合、差 $ T(N;3,1) - T(N;3,2) $ の正確な挙動は何か？
• RQ5 異なる法 $ d_1, d_2 $ に対して、計数関数 $ T(2^r; d_1, i) $ と $ T(2^r; d_2, i) $ の間により深い構造的同等性があるか？

主な発見

• 比 $ \frac{s(n)}{s(n+1)} $ の平均値は $ \frac{3}{2} $ であり、和 $ \sum_{n=0}^{N-1} \frac{s(n)}{s(n+1)} = \frac{3N}{2} + \mathcal{O}(\log^2 N) $ が成り立つ。
• 各 $ d \geq 2 $ に対して、数列 $ (s(n) \mod d, s(n+1) \mod d) $ は $ \mathcal{S}_d $ 上に一様に分布しており、$ \mathcal{S}_d $ は $ \gcd(i,j,d) = 1 $ を満たすペア $ (i,j) $ の集合である。
• 計数関数 $ T(N;d,i) $ は $ T(N;d,i) = r_{d,i} N + \mathcal{O}(N^{\tau_d}) $ を満たし、$ \tau_d < 1 $ である。ここで $ r_{d,i} $ は $ d $ と $ i $ の素因数を含む積分公式で明示的に与えられる。
• $ d = 2 $ の場合、$ s(n) $ が偶数であるための必要十分条件は $ n \equiv 0 \pmod{3} $ であり、$ T(N;2,0) $ の誤差項は $ \mathcal{O}(1) $ であるため、$ \tau_2 = 0 $ である。
• $ d = 3 $ の場合、差 $ \Delta(N) = T(N;3,1) - T(N;3,2) $ は $ \{0,1,2,3\} $ に有界であり、その値は $ S_3(n) = (s(n) \mod 3, s(n+1) \mod 3) $ の値にのみ依存する。
• 正確な公式が $ T(2^r;3,0) $ に対して導出され、$ \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ の誤差項が最良であることが示され、再帰の特性多項式は $ T^3 - T^2 - 4 $ であり、根は $ 2, \mu, \bar{\mu} $ である。