[論文レビュー] Regularity results for nonlocal equations by approximation

Luis Caffarelli, Luís Silvestre|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非局所的楕円型方程式に対して、非平行移動不変型カーネルを用いた $C^{1,\beta}$ および $C^{2,\beta}$ の正則性推定を、摂動的コンパクト性の議論を用いて確立する。一般の非局所作用素を、正則性が既知の平行移動不変型作用素で近似することで、カーネル係数の弱い連続性および楕円性条件の下で解のホルダー推定を得る。これにより、確率ゲームや制御理論に現れるより広いクラスの積分微分方程式へ、既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we prove a nonlocal version of the Cordes-Niremberg estimates. We use it to extend our previous regularity results for fully nonlinear integro-differential equations to the variable coefficient case and several other settings where the equation can be thought of as a perturbation of the translation invariant case.

研究の動機と目的

• 非局所方程式の $C^{1,\beta}$ 正則性結果を、平行移動不変型の場合に限らない一般の非平行移動不変型作用素へ拡張すること。
• 参照用の平行移動不変型方程式から、近接する非平行移動不変型方程式へ正則性を移す一般の摂動的フレームワークを構築すること。
• カーネルの滑らかさおよび楕円性に関する強い仮定の下で、特にカーネルが分数ラプラシアンに近い場合に $C^{2,\beta}$ 正則性を確立すること。
• 跳躍過程を伴う確率ゲームに現れる純粋非局所的イサース型方程式へ適用可能な統一的理論的枠組みを提供すること。
• コンパクト性および近似技術を用いて、コルドス＝ニレングベルク型推定を非局所的設定へ一般化すること。

提案手法

• 一般の摂動的議論（定理5.2）を展開し、非局所作用素が $C^{1,\beta}$ 解をもつ平行移動不変型作用素に一様に近い場合、その解に対しても $C^{1,\beta}$ であると述べる。
• この手法は、有界領域における解のコンパクト性に依存し、非局所作用素に適応されたデ・ジョルジおよびクリロフ＝サフォノフ型のコンパクト性議論を活用する。
• 一様楕円性は、線形非局所作用素の族 $\mathcal{L}$ による比較を通じて定義され、小さな摂動の下でも正則性の安定性を保証する。
• 主な技術的アプローチは、カーネルの $x$-依存性を一点で凍結し、得られる作用素を平行移動不変型作用素と比較することであり、スケーリングおよび収束議論を用いる。
• 楕円性の定量的評価および作用素間の差の制御には、最大作用素 $\mathrm{M}^{+}_{\mathcal{L}}$ および最小作用素 $\mathrm{M}^{-}_{\mathcal{L}}$ を用いる。
• スケーリングされた解の列にコンパクト性議論を適用し、極限が参照作用素の正則性を引き継ぐことを示し、それを元の方程式へ逆方向に移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カーネル $a_{\alpha\beta}(x,y)$ がどのような条件下に、非局所的イサース方程式 (1.1) の解 $u$ が $C^{1,\varepsilon}$（$\varepsilon>0$）に属するか？
• RQ2 カーネルが $x$-に依存せず、分数ラプラシアンに近い場合、解に対して $C^{2,\varepsilon}$ 正則性を確立できるか？
• RQ3 摂動的手法を用いて、平行移動不変型から非平行移動不変型非局所方程式への $C^{1,\beta}$ 正則性をどのように拡張できるか？
• RQ4 $a_{\alpha\beta}(x,y)$ の $x$ における連続性のモジュラスが、解の正則性に果たす役割は何か？
• RQ5 非局所作用素の主要部を分離し、近似することで解の正則性を導けるか？

主な発見

• もし $0 < \lambda \leq a_{\alpha\beta} \leq \Lambda$ かつ $|\nabla_y a_{\alpha\beta}| \leq C|y|^{-1}$ であり、$a_{\alpha\beta}$ が $y$ に依存しない $x$ における連続性（$y$ に依存しないモジュラス）を持つならば、方程式 (1.1) の解は $\Omega$ の内部で $C^{1,\varepsilon}$ に属し、$\|u\|_{L^\infty}$ に依存する推定が成り立つ。
• もし $a_{\alpha\beta}$ が $x$ に依存せず、$\Lambda - \eta \leq 1 \leq \lambda + \eta$（$\eta$ が小さい）ならば、方程式 (1.1) の解は $\Omega$ の内部で $C^{2,\varepsilon}$ に属し、再び $\|u\|_{L^\infty}$ に依存する推定が成り立つ。
• 定理5.2により、適切なノルムで差が小さい限り、参照用の平行移動不変型作用素から近接する非平行移動不変型作用素へ $C^{1,\alpha}$ 正則性を移すことができる。
• 形 $\mathrm{I}(u,x) = -(-\Delta)^{\sigma/2}u + \text{下位項}$ の方程式に対して、下位項のカーネルが $|a(y)| \leq C$ および $|\nabla a(y)| \leq C/|y|$ を満たすならば、$u \in C^{2,\alpha}(B_{1/2})$ かつ $\|u\|_{C^{2,\alpha}(B_{1/2})} \leq C\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$ が成り立つ。
• 摂動的手法により、一般の非局所方程式をその主要部（例えば分数ラプラシアン）に還元でき、余剰項が適切なノルムで小さい場合には正則性の移行が可能になる。
• 補題3.1の証明では、$u_\alpha(x) = ((|x|-1)^+)^\alpha$ を用いた極限議論と、$\log(|x|-1)$ への収束を用い、この関数に最大作用素を作用させると境界付近で負になることを示し、これがコンパクト性に不可欠である。