[論文レビュー] Regularization by noise and stochastic Burgers equations

Massimiliano Gubinelli, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、加法的な空間時空ホワイトノイズの正則化効果を活用して、特異な確率的バーガース方程式を解くための新規フレームワークを導入する。正則化パラメータ θ > 5/4 の場合、一般化された確率的バーガース方程式に対して弱解の存在と経路ごとの一意性を、ノイズ制御分布のクラスを用いて、分布的意味で非線形項が適切に定義可能であることを示す。

ABSTRACT

We study a generalized 1d periodic SPDE of Burgers type: $$ \partial_t u =- A^θu + \partial_x u^2 + A^{θ/2} ξ$$ where $θ> 1/2$, $-A$ is the 1d Laplacian, $ξ$ is a space-time white noise and the initial condition $u_0$ is taken to be (space) white noise. We introduce a notion of weak solution for this equation in the stationary setting. For these solutions we point out how the noise provide a regularizing effect allowing to prove existence and suitable estimates when $θ>1/2$. When $θ>5/4$ we obtain pathwise uniqueness. We discuss the use of the same method to study different approximations of the same equation and for a model of stationary 2d stochastic Navier-Stokes evolution.

研究の動機と目的

• 空間時空ホワイトノイズと粗い非線形性を有する特異な確率的バーガース方程式に対して、厳密な解の概念が欠如している問題に対処すること。
• 加法的ノイズが、分布的設定において非線形項を定義可能にするのに十分な正則化効果を有することを示すこと。
• θ > 1/2 のとき、ハイパービスコシティ作用素 A^θ を有する一般化された確率的バーガース方程式に対して弱解の存在を確立すること。
• θ > 5/4 のとき、制御過程フレームワークを用いて、方程式に対して経路ごとの一意性を証明すること。
• 同様のノイズ誘発正則化を用いて、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式へその方法を拡張すること。

提案手法

• A^{θ/2}ξ に駆動される定常オーナイズ・ウーレンプ過程の小時間挙動を模倣する分布的過程 R_θ と呼ばれる「制御された」過程のクラスを導入する。
• 非線形駆動項 F(v_t) = ∂_ξ(v_t)^2 を時間積分 A^v_t = ∫₀ᵗ F(v_s)ds として定義し、θ > 1/2 のとき、その項が分布空間内で適切に定義可能であることを示す。
• ガラーキン近似スキームを用いて有限次元解 u^N_t を構成し、それが制御クラス R_θ に属する解に収束することを示す。
• ソボレフノルムとガウス測度の不変性に基づく事前推定を適用し、2次元ナビエ＝ストークスモデルにおける非線形項の成長を制御する。
• 定常測度 γ が力学系のもとで不変であり、H^σ (σ < 0) に台を持つことから、抽象的ウィーナー空間技法の適用を可能にする。
• スペクトル分解とエネルギー推定を用いて、非線形項を |k|^{-2σ} の項で上から抑え、σ > 0 のときその和が収束することを示し、ノイズ正則化項の可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 u が空間ホワイトノイズであり、ノイズが空間時空ホワイトノイズであるとき、確率的バーガース方程式における非線形項 ∂_ξ(u^2) を意味的に定義することは可能か？
• RQ2 θ > 1/2 のとき、線形的なハイパービスコシティ項 A^θ を追加することで、分布的意味で非線形駆動項を適切に定義可能にする十分な正則化効果が得られるか？
• RQ3 θ > 5/4 のとき、一般化された確率的バーガース方程式に対して、経路ごとの一意性が達成可能か？
• RQ4 同様の正則化フレームワークを、乗法的空間時空ノイズを有する2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に適用可能か？
• RQ5 不変ガウス測度は、このようなSPDEの定常解の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• θ > 1/2 のとき、すべての v ∈ R_θ に対して、非線形項 F(v_s) = ∂_ξ(v_s)^2 の時間積分が、分布空間内での連続過程として適切に定義可能である。
• θ > 1/2 のとき、一般化された確率的バーガース方程式に対して弱解が存在し、KPZ領域未満でも成立する。
• θ > 5/4 のとき、制御過程フレームワークを用いて、方程式に対して経路ごとの一意性が成立する。
• 2次元ナビエ＝ストークスモデルにおける非線形項は、スペクトル推定により I_N(k) ≲ |k|^{-2σ} と抑えられ、σ > 0 のときその和が収束する。
• 不変ガウス測度 γ は H^σ (σ < 0) に台を持ち、力学系のもとで不変であるため、定常解の構成が可能である。
• 本手法は2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式へ拡張可能であり、σ > 0 のとき、不変測度のもとで非線形項が可積分であることが示された。