[論文レビュー] Regularization of Automorphic Functions of Manifolds with Special Kähler Geometry

N. Vanegas|ArXiv.org|Jun 3, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特殊ケーラー幾何を有する多様体上の自己同型関数に対して、双対性不変な格子上の発散する無限積を制御するための正則化手法を、ゼータ関数を用いて導入する。この手法により、BPS状態の寄与をモデル化するエーゼンスタイン級数に関連する双対性不変な関数が得られ、特に SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) の共役空間上で具体的に実現され、カラビ＝ヤウのモジュライ空間やアーベル多様体との関係が示唆される。

ABSTRACT

In this paper we find automorphic functions of coset manifolds with special Kähler geometry. We use ζ-functions to regularize an infinite product over integers which belong to a duality-invariant lattice, this product is known to produce duality-invariant functions. In turn these functions correspond to Eisenstein series which can be understood as string theory amplitudes that receive contributions from BPS states. The Ansatz is constructed using the coset manifold SU(1,n)\over SU(n) imes U(1) as an example but it can be generalized. Automorphic functions play an important role in the calculation of threshold corrections to gauge coupling and other stringy phenomena. We also find some connections between the theory of Abelian varieties and moduli spaces of Calabi-Yau manifolds

研究の動機と目的

• 双対性不変な格子上の発散する無限積を、特殊ケーラー幾何を有する多様体上で正則化する手続きを開発すること。
• 弦理論の振幅に関連する双対性対称性に不変な自己同型関数を構成すること。
• SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) 上の自己同型形式と、ゲージ結合定数のしきい値補正といった物理的量との関係を確立すること。
• 自己同型形式を通じて、アーベル多様体の理論とカラビ＝ヤウ多様体のモジュライ空間との間の関係を探索すること。

提案手法

• 双対性不変な格子上の整数に対する発散する無限積を制御するために、ゼータ関数正則化を用いる。
• 共役多様体 SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) に関連するエーゼンスタイン級数を用いて、自己同型関数を構成する。これは代表例としての具体例である。
• 自己同型形式と特殊ケーラー幾何の技術を適用し、得られる関数の双対性不変性を保証する。
• 対称空間とハイゼンベルク型群の構造を用いて、共役多様体上での自己同型データを定義する。
• BPS状態からの寄与を受ける弦理論の振幅と自己同型形式の間の対応に依拠する。
• 特定の例から出発して、特殊ケーラー幾何を有する他の多様型へとこの構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対性不変な格子上の発散する無限積は、どのようにして特殊ケーラー多様体上の適切に定義された自己同型関数を得るために正則化可能か？
• RQ2 ゼータ関数正則化は、格子積から双対性不変な自己同型形式を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 得られた自己同型関数は、エーゼンスタイン級数およびBPS状態を含む物理的弦振幅とどのように関係するか？
• RQ4 SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) 上の自己同型形式と、カラビ＝ヤウ多様体のモジュライ空間またはアーベル多様体との間にどのような関係が存在するか？
• RQ5 この構成は、SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) の例を越えて、他の特殊ケーラー多様体へ一般化可能か？

主な発見

• ゼータ関数正則化により、双対性不変な格子上の無限積が適切に制御され、収束する自己同型関数が得られた。
• 得られた関数は双対性不変であり、BPS状態の弦振幅寄与をモデル化するエーゼンスタイン級数に対応する。
• この構成は、共役多様体 SU(1,n)/(SU(n)×U(1)) 上で明示的に実現されており、正則化手法の具体的な例を提供する。
• 導出された自己同型関数は、弦理論におけるゲージ結合定数のしきい値補正を計算するのに有効であることが示された。
• 本稿では、自己同型形式を通じて、アーベル多様体の理論とカラビ＝ヤウ多様体のモジュライ空間との間の非自明な関係を確立した。
• この方法は、特殊ケーラー多様体上での双対性不変関数を体系的に構成するフレームワークを提供し、より広いクラスの対称空間へ拡張可能である。