[論文レビュー] Regularization of point vortices for the Euler equation in dimension two, part II

Daomin Cao, Zhongyuan Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元非圧縮性オイラー方程式の定常古典解を、点渦を自由境界楕円型問題と $ p $-ラプラシアン型非線形性（$ p>1 $）で正則化することによって構成する。任意のキルヒホッフ＝ルウ関数の $ C^1 $-安定臨界点に対し、正および負の循環を持つ $ m+n $ 個の渦を近似する定常解が、滑らかで単純連結な領域内に存在することを証明し、渦力学と滑らかな解との間の厳密な対応関係を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we continue to construct stationary classical solutions of the incompressible Euler equation approximating singular stationary solutions of this equation. This procedure now is carried out by constructing solutions to the following elliptic problem \[ {cases} -\ep^2 Δu=(u-q-\fracκ{2π}\ln\frac{1}{\ep})_+^p-(q-\fracκ{2π}\ln\frac{1}{\ep}-u)_+^p, \quad & x\inΩ, u=0, \quad & x\in\partialΩ, {cases} \] where $p>1$, $Ω\subset\mathbb{R}^2$ is a bounded domain, $q$ is a harmonic function. We showed that if $Ω$ is a simply-connected smooth domain, then for any given non-degenerate critical point of Kirchhoff-Routh function $\mathcal{W}(x_1^+,...,x_m^+,x_1^-,...,x_n^-)$ with $κ^+_i=κ>0\,(i=1,...,m)$ and $κ^-_j=-κ\,(j=1,...,n)$, there is a stationary classical solution approximating stationary $m+n$ points vortex solution of incompressible Euler equations with total vorticity $(m-n)κ$.

研究の動機と目的

• 2次元非圧縮性オイラー方程式の古典的で滑らかな定常解を、特異的点渦配置を近似する形で厳密に構成すること。
• 点渦（特異解）を正則で滑らかな解に近似する挑戦に、自由境界問題による正則化を導入すること。
• キルヒホッフ＝ルウ関数の $ C^1 $-安定臨界点と、このような正則化定常解の存在との対応関係を確立すること。
• 従来の結果を拡張し、正および負の渦（時計回りおよび反時計回り）を統一的な枠組みで統合すること。

提案手法

• 自由境界楕円型問題を定式化し、$ p $-ラプラシアン型非線形性を有する：$ -\rho^2 \Delta u = \sum \chi_{\Omega_i^+}(u - q - \frac{\kappa_i^+}{2\pi}\ln\frac{1}{\varepsilon})_+^p - \sum \chi_{\Omega_j^-}(q - \frac{\kappa_j^-}{2\pi}\ln\frac{1}{\varepsilon} - u)_+^p $、ディリクレ境界条件を満たす。
• Lyapunov-Schmidtの還元法を用いて、領域内に $ m+n $ 個の点（$ m $ 個の正の渦、$ n $ 個の負の渦）に集中する解を構成する。
• バイオ・サバール則およびグリーン関数展開に基づく近似解を基準とした摂動的アプローチを採用する。
• パrameter $ \varepsilon \to 0 $ における漸近解析に依拠し、$ \varepsilon $ は渦核の大きさおよび渦度強度の対数スケーリングを制御する。
• 自由境界の性質を扱うために、ペナルティ付きエネルギー汎関数を用いた変分的枠組みを適用する。
• 特に渦中心付近の集中領域において、近似解と真の解との差の詳細な推定を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正および負の循環を持つ $ m+n $ 個の点渦配置を近似する、2次元オイラー方程式の古典的で滑らかな定常解を構成することは可能か？
• RQ2 キルヒホッフ＝ルウ関数の $ C^1 $-安定臨界点が、オイラー方程式の正則化定常解に対応するための条件は何か？
• RQ3 非線形性における $ p>1 $ の選択が、正則化解の存在および集中行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $ \varepsilon \to 0 $ の極限における、正則化渦度および速度場の正確な漸近的構造は何か？
• RQ5 この手法は、同時に正および負の渦を1つの解枠組みで扱うことができるか？

主な発見

• キルヒホッフ＝ルウ関数 $ \mathcal{W}(x_1^+,\dots,x_m^+,x_1^-,\. . .,x_n^-) $ の任意の $ C^1 $-安定臨界点に対し、対応する $ m+n $-渦配置を近似する2次元オイラー方程式の定常古典解が存在する。
• 構成された解は滑らかであり、$ \varepsilon \to 0 $ の極限で特異的点渦解に収束し、渦度が渦中心の周囲の小さな球に集中する。
• 正則化解の全渦度は $ \sum_{i=1}^m \kappa_i^+ - \sum_{j=1}^n \kappa_j^- $ に一致し、点渦系の全循環と一致する。
• 本手法は正および負の渦を同時に処理でき、正の循環と負の循環のための別個の領域 $ \Omega_i^+ $ および $ \Omega_j^- $ を明確に定義する。
• 解の誤差の漸近的展開は $ O(\varepsilon^{2+\sigma}/|\ln \varepsilon|^{p+1}) $ で制御され、集中領域における高い精度を示す。
• エネルギー変動の主要項は $ \frac{\delta^2 a^{+}_{\delta,i}}{|\ln \varepsilon| \cdot |\ln(R/s^{+}_{\delta,i})|} \frac{\partial q}{\partial z^{+}_{i,h}} $ に比例し、解の感度が調和関数 $ q $ の勾配に依存することを示す。