[論文レビュー] Regularization with Metric Double Integrals of Functions with Values in a Set of High-Dimensional Vectors

René Ciak, Melanie Hirzmann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 35被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、高次元ベクトル集合を値とする関数を含む変動的逆問題および画像復元問題に対して、微分を含まない正則化汎関数を、距離の二重積分に基づいて導入する。この手法は、Bourgain らによるソボレフ半ノルム近似の一般化であり、ベクトル値関数における最小化解の存在を証明し、適切な条件下で安定性および収束性を確立する。

ABSTRACT

We present an approach for variational regularization of inverse and imaging problems for recovering functions with values in a set of vectors. We introduce regularization functionals, which are derivative-free double integrals of such functions. These regularization functionals are motivated from double integrals, which approximate Sobolev semi-norms of intensity functions. These were introduced in Bourgain, Brezis and Mironescu, Another Look at Sobolev Spaces. In: Optimal Control and Partial Differential Equations-Innovations and Applications, IOS press, Amsterdam, 2001. For the proposed regularization functionals we prove existence of minimizers as well as a stability and convergence result for functions with values in a set of vectors.

研究の動機と目的

• 高次元ベクトル集合を値とする関数を含む逆問題および画像復元問題のための正則化汎関数の開発。
• 二重積分を用いたソボレフ半ノルム近似を、微分を含まない正則化に一般化すること。
• 提案された汎関数がベクトル値設定において最小化解を有することの保証。
• 適切な条件下で、安定性および収束性の性質を確立すること。
• メトリックに基づく二重積分を用いて、スカラー強度関数から得られる理論的保証を、ベクトル値関数へと拡張すること。

提案手法

• 関数の異なる点における値の間の距離に基づくメトリックを用いた二重積分として正則化汎関数を提案する。
• 微分を明示的に含めないメトリックに基づく定式化を採用することで、滑らかでないまたは離散的なベクトル値関数への適用を可能にする。
• Bourgain, Brezis, および Mironescu が提案したソボレフ半ノルム近似の二重積分フレームワークを、ベクトル値設定に適応する。
• データ適合項を満たすように、変分法を用いて正則化汎関数を最小化する。
• コンパクト性および下方連続性の議論を用いて、最小化解の存在を証明する。
• 正則化パラメータがゼロに近づく際の漸近的解析により、安定性および収束性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重積分に基づく正則化は、高次元ベクトル集合を値とする関数へと拡張可能か？
• RQ2 ベクトル値設定において、微分を必要とせずにソボレフ半ノルム近似をどのように適応可能にするか？
• RQ3 このような正則化汎関数の最小化解の存在を保証する条件は何か？
• RQ4 安定性および収束性の性質は、スカラー関数からベクトル値関数へとどのように一般化されるか？
• RQ5 メトリックは、ベクトル値関数の二重積分正則化を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された正則化汎関数は微分を含まず、メトリック二重積分に基づくものであり、微分可能性を要しないベクトル値関数の正則化を可能にする。
• データおよび関数空間に関する標準的な仮定の下で、提案された正則化汎関数に対して最小化解の存在が証明された。
• データおよび正則化パラメータの摂動に対して、最小化解の安定性が確立された。
• 適切なコンパクト性および一貫性条件の下で、正則化パラメータがゼロに近づく際の最小化解の収束が示された。
• メトリックに基づく二重積分を用いて、古典的なソボレフ半ノルム近似をベクトル値関数へと一般化した。
• 理論的結果により、二重積分正則化の適用範囲が、ベクトル値解を有する逆問題および画像復元問題へと拡張された。