[論文レビュー] Regularizations of two-fold bifurcations in planar piecewise smooth systems using blow up

Kristian Uldall Kristiansen, S. J. Hogan|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、平面的区分的滑らか（PWS）系における余次元1の2重折り畝分岐の正則化を、爆発法を用いて厳密に分析する。特異なカナード、擬似平衡点、極小周期軌道に注目している。正則化が極小周期軌道の接合分岐を誘発することを示し、ホップ分岐の臨界性が正則化関数に依存することを明らかにした。数値的にカナード爆発が観察された。

ABSTRACT

We use blowup to study the regularization of codimension one two-fold singularities in planar piecewise smooth (PWS) dynamical systems. We focus on singular canards, pseudo-equlibria and limit cycles that can occur in the PWS system. Using the regularization of Sotomayor and Teixeira \cite{Sotomayor96}, we show rigorously how singular canards can persist and how the bifurcation of pseudo-equilibria is related to bifurcations of equilibria in the regularized system. We also show that PWS limit cycles are connected to Hopf bifurcations of the regularization. In addition, we show how regularization can create another type of limit cycle that does not appear to be present in the original PWS system. For both types of limit cycle, we show that the criticality of the Hopf bifurcation that gives rise to periodic orbits is strongly dependent on the precise form of the regularization. Finally, we analyse the limit cycles as locally unique families of periodic orbits of the regularization and connect them, when possible, to limit cycles of the PWS system. We illustrate our analysis with numerical simulations and show how the regularized system can undergo a canard explosion phenomenon.

研究の動機と目的

• 平面的区分的滑らか（PWS）力学系における余次元1の2重折り畝分岐の正則化がどのように影響を及えるかを厳密に理解すること。
• Sotomayor–Teixeira正則化の下で、特異なカナード、擬似平衡点、極小周期軌道の保存性を調査すること。
• PWS分岐と正則化系における標準的滑らか分岐との関係を特定すること。
• 正則化が元のPWS系に存在しなかった新たな力学的特徴を生成するかどうかを調査すること。
• 正則化関数がホップ分岐の臨界性および周期軌道の接合分岐の発生に果たす役割を分析すること。

提案手法

• PWS分岐における双曲性の喪失を解消するため、KrupaとSzmolyanの爆発法を適用する。
• Sotomayor–Teixeira正則化を用い、スイッチング面を幅 $2\epsilon$ の境界層に置き換える。
• 異なる座標チャート（例：$\kappa_2$）における局所的解析を通じて、2重折り畝特異点付近の力学を解明する。
• 幾何学的特異摂動理論を用いて、特異なカナード、擬似平衡点、極小周期軌道を正則化系へと延長する。
• 数値的連続法（AUTOを用いて）を用いて周期軌道を追跡し、ホップ分岐および接合分岐を検出する。
• 異なる正則化関数に対する正則化系のリャプノフ係数を比較し、ホップ分岐の臨界性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PWS系における特異なカナードは正則化の下でどのように保存され、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 PWS系における擬似平衡点分岐と正則化系における平衡点分岐との関係は何か？
• RQ3 正則化が元のPWS系に存在しなかった新たな極小周期軌道を誘発できるか？
• RQ4 正則化関数の選択が正則化系におけるホップ分岐の臨界性にどのように影響するか？
• RQ5 爆発法は2重折り畝分岐における双曲性の喪失をどのように解消するか？

主な発見

• 特異なカナードは正則化系においても保存され、カナード値は $\mu_{2,c}^{s} \approx -0.12188\sqrt{\epsilon} + \mathcal{O}(\epsilon)$ にずれる。
• PWS系における擬似平衡点分岐は、正則化系における標準的平衡点分岐に対応する。
• PWS極小周期軌道は正則化系におけるホップ分岐に接続されており、周期軌道は $\mu_2 \approx -1.22369 \times 10^{-2}$ の近くでカナード爆発を経験する。
• 正則化は元のPWS系に存在しない極小周期軌道の接合分岐を誘発する。
• ホップ分岐の臨界性は正則化関数に依存し、異なる選択肢により逆符号のリャプノフ係数 $a_2^l = -5/8$ と $a_2^c = 7/32$ が得られる。
• PWS系における特異な周期軌道 $VI_3$ は正則化系における周期軌道の極限であり、安定性は不変量 $\Delta_{VI_3}$ によって決定される。