[論文レビュー] Regularized solutions for some backward nonlinear partial differential equations with statistical data

Mokhtar Kirane, Erkan Nane+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2017

Numerical methods in inverse problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ノイズを含むデータを伴う多次元領域における後向き非線形放物型方程式の正則化手法を開発し、不安定性を解消する安定な正則化解を構築することで、病的な性質の解法を扱う。定数係数および時間に依存する係数を有する方程式について収束速度を確立し、熱方程式、Fisher方程式、Huxley方程式、Fitzhugh-Nagumo方程式、Swift-Hohenberg方程式を含むものに適用する。さらに、1次元のKuramoto-Sivashinsky方程式、修正されたSwift-Hohenberg方程式、強発散波方程式、Burgerの運動方程式に対しても、確率的摂動を伴う場合にまで拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study the backward problem of determining initial condition for some class of nonlinear parabolic equations in multidimensional domain where data are given under random noise. This problem is ill-posed, i.e., the solution does not depend continuously on the data. To regularize the instable solution, we develop some new methods to construct some new regularized solution. We also investigate the convergence rate between the regularized solution and the solution of our equations. In particular, we establish results for several equations with constant coefficients and time dependent coefficients. The equations with constant coefficients include heat equation, extended Fisher-Kolmogorov equation, Swift-Hohenberg equation and many others. The equations with time dependent coefficients include Fisher type Logistic equations, Huxley equation, Fitzhugh-Nagumo equation. The methods developed in this paper can also be applied to get approximate solutions to several other equations including 1-D Kuramoto-Sivashinsky equation, 1-D modified Swift-Hohenberg equation, strongly damped wave equation and 1-D Burger's equation with randomly perturbed operator.

研究の動機と目的

• 最終データにノイズが含まれる状況下で、初期条件を復元する必要がある後向き非線形放物型方程式の病的な性質に対処する。
• データ摂動に対して極めて敏感な解を安定化するための新しい正則化技術を開発する。
• 定数係数および時間に依存する係数を有する方程式について、正則化解と真の解との間の収束速度を確立する。
• 1次元のKuramoto-Sivashinsky方程式、修正されたSwift-Hohenberg方程式、強発散波方程式、Burgerの運動方程式など、広範な方程式クラスへの提案手法の拡張を図る。
• 統計的データ不確実性下において、定数係数および時間変動係数を有する非線形PDEに共通して適用可能な統一的な枠組みを提供する。

提案手法

• 多次元領域における確率的ノイズを伴う後向き問題に特化した新しい正則化フレームワークを導入する。
• データ摂動に起因する不安定性を制御することで、病的な逆問題を安定化する手法を用いて正則化解を構築する。
• 熱方程式、拡張Fisher-Kolmogorov方程式、Swift-Hohenberg方程式など、定数係数を有する方程式に正則化を適用する。
• Fisher型ロジスティック、Huxley、Fitzhugh-Nagumo方程式など、時間に依存する係数を有する方程式に対しても手法を拡張する。
• 関数解析的および統計的道具を用いて、正則化解と正確な解との間の収束速度を導出する。
• 1次元のKuramoto-Sivashinsky方程式、修正されたSwift-Hohenberg方程式、強発散波方程式、1次元のBurgerの運動方程式に対しても、確率的作用素を伴う場合に適用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズを含む多次元データを伴う後向き非線形放物型方程式に、正則化をどのように効果的に適用できるか。
• RQ2 定数係数を有する方程式について、正則化解と真の解との間で確立可能な収束速度は何か。
• RQ3 提案された正則化手法は、Fisher型およびHuxley方程式のような時間に依存する係数を有する方程式へも拡張可能か。
• RQ4 データに確率的摂動が存在する状況下で、正則化解の安定性と精度はいかほどか。
• RQ5 1次元のKuramoto-Sivashinsky方程式や強発散波方程式を含む、他の非線形PDEへどの程度一般化可能か。

主な発見

• 提案された正則化手法は、多次元領域における確率的ノイズを伴う後向き非線形放物型方程式の解法を効果的に安定化する。
• 熱方程式やSwift-Hohenberg方程式など、定数係数を有する方程式について、正則化解と真の解との間の収束速度が確立された。
• Fisher型ロジスティック方程式やHuxley方程式など、時間に依存する係数を有する方程式に対しても、安定性および収束性が保証された。
• 1次元のKuramoto-Sivashinsky方程式、修正されたSwift-Hohenberg方程式、強発散波方程式、1次元のBurgerの運動方程式に対しても、確率的摂動を伴う作用素を有する場合にまで適用可能である。
• 正則化アプローチにより、データに統計的ノイズが混入している場合でも、解が安定的かつ収束的であることが保証された。
• 理論的結果により、適切な条件下で正則化解が真の解に収束することを示し、非線形PDEにおける逆問題に対して頑健な手法を提供した。