[論文レビュー] Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching Brownian motion

Aymeric Baradat, Hugo Lavenant|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正則化された非平衡最適輸送（RUOT）と分岐シュレーディンガー問題の間のきめ細やかな双対性関係を確立する。後者は分岐ブラウン運動（BBM）に関するエントロピー最小化として定式化される。本稿では、RUOTの値が、分岐シュレーディンガー問題の値の下半連続包であることを証明し、両者の解の間に対応関係を提示する。また、微小なノイズの極限において部分的最適輸送への収束を示す。

ABSTRACT

We consider the problem of minimizing the entropy of a law with respect to the law of a reference branching Brownian motion under density constraints at an initial and final time. We call this problem the branching Schrödinger problem by analogy with the Schrödinger problem, where the reference process is a Brownian motion. Whereas the Schrödinger problem is related to regularized (a.k.a. entropic) optimal transport, we investigate here the link of the branching Schrödinger problem with regularized unbalanced optimal transport. This link is shown at two levels. First, relying on duality arguments, the values of these two problems of calculus of variations are linked, in the sense that the value of the regularized unbalanced optimal transport (seen as a function of the initial and final measure) is the lower semi-continuous relaxation of the value of the branching Schrödinger problem. Second, we also explicit a correspondence between the competitors of these two problems, and to that end we provide a fine description of laws having a finite entropy with respect to a reference branching Brownian motion. We investigate the small noise limit, when the noise intensity of the branching Brownian motion goes to $0$: in this case we show, at the level of the optimal transport model, that there is convergence to partial optimal transport. We also provide formal arguments about why looking at the branching Brownian motion, and not at other measure-valued branching Markov processes, like superprocesses, yields the problem closest to optimal transport. Finally, we explain how this problem can be solved numerically: the dynamical formulation of regularized unbalanced optimal transport can be discretized and solved via convex optimization.

研究の動機と目的

• 正則化された非平衡最適輸送（RUOT）と、分岐拡散過程を伴う古典的シュレーディンガー問題の変種である分岐シュレーディンガー問題との間の理論的関係を確立すること。
• RUOTの値関数が、分岐シュレーディンガー問題の値関数の下半連続包として生じることを示すこと。
• 分岐ブラウン運動（BBM）に関する相対エントロピーが有限である確率測度を特徴づけ、両問題の解の間の明確な対応関係を可能にすること。
• 分岐ブラウン運動の微小ノイズ極限を解析し、動的定式化において部分的最適輸送への収束を示すこと。
• 離散化後に凸最適化を用いて動的RUOT問題を数値的に解くためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 初期および最終周辺分布が固定された条件下で、分岐ブラウン運動（BBM）の法則に関するエントロピー最小化として分岐シュレーディンガー問題を定式化する。
• 双対性の議論を用いて、分岐シュレーディンガー問題の値とRUOT問題の値を関連づけ、後者が前者の下半連続包であることを示す。
• ジャンプを伴う過程のための一般化された伊藤の公式と確率解析を導入し、BBMに関する相対エントロピーが有限である法則を特徴づける。
• エントロピー最小化のダイナミクスをモデル化するため、予測可能で時空に依存する分岐率および拡散率を持つ修正されたBBMを構築する。
• BBMに関する相対エントロピーが有限である任意の法則は、特定の予測可能な強度を持つ分岐ブラウン運動そのものでなければならないことを証明し、両問題の競合者間の一対一対応を確立する。
• RUOTの動的定式化を離散化し、双対性および対応関係の結果を活用して凸最適化により数値的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則化された非平衡最適輸送（RUOT）の値は、分岐シュレーディンガー問題の値とどのように関係しているか？
• RQ2 分岐ブラウン運動に関する相対エントロピーが有限である法則は特徴づけられるか？また、それらがどのような構造を持つのか？
• RQ3 分岐シュレーディンガー問題は微小ノイズ極限においてどのように振る舞い、最適輸送モデルとどのように関係するか？
• RQ4 分岐シュレーディンガー問題の解とRUOT問題の解の間には一対一対応が存在するか？
• RQ5 本稿で開発された理論的枠組みを用いて、動的RUOT問題をどのように数値的に解けるか？

主な発見

• 正則化された非平衡最適輸送問題の値は、分岐シュレーディンガー問題の値の下半連続包である。
• 分岐ブラウン運動に関する相対エントロピーが有限である任意の確率測度は、特定の予測可能な強度を持つ分岐ブラウン運動そのものでなければならない。
• 微小ノイズ極限において、分岐シュレーディンガー問題から導かれる最適輸送モデルは、部分的最適輸送問題に収束する。
• 適切な条件下では、分岐シュレーディンガー問題の解とRUOT問題の解の間には一対一対応が存在する。
• RUOTの動的定式化は離散化され、双対性および構造的結果を活用して凸最適化により数値的に解くことができる。
• 分岐ブラウン運動は、測度値分岐過程の中で最適輸送に最も近いモデルを提供するため、非平衡最適輸送の自然な基準過程である。