[論文レビュー] Regularly varying time series in Banach spaces

Thomas Meinguet, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 26被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、分離可能なバナッハ空間における定期的変動する時系列の理論を確立し、共同定期的変動が、大規模なノルム条件下でのスケーリング時系列の弱収束と同値であることを示している。主な貢献は、時間的・空間的極値依存を特徴付けるために、尾部過程とスペクトル過程の導入であり、これらは重尾仮定下での関数データ解析における極値コログラム、尾部依存、極値インデックスへの応用を可能にする。

ABSTRACT

When a spatial process is recorded over time and the observation at a given time instant is viewed as a point in a function space, the result is a time series taking values in a Banach space. To study the spatio-temporal extremal dynamics of such a time series, the latter is assumed to be jointly regularly varying. This assumption is shown to be equivalent to convergence in distribution of the rescaled time series conditionally on the event that at a given moment in time it is far away from the origin. The limit is called the tail process or the spectral process depending on the way of rescaling. These processes provide convenient starting points to study, for instance, joint survival functions, tail dependence coefficients, extremograms, extremal indices, and point processes of extremes. The theory applies to linear processes composed of infinite sums of linearly transformed independent random elements whose common distribution is regularly varying.

研究の動機と目的

• 関数データの時系列（観測値がバナッハ空間の要素である）における極値依存の整合的理論の構築を目的とする。
• 2次モーメントの仮定に代えて定期的変動を用いることで、無限分散（無限大の分散）のインノベーションを伴う古典的関数データ解析の限界を克服することを目的とする。
• 無限次元設定における極値ダイナミクス（例：尾部依存、極値コログラム、極値インデックス）を、尾部過程およびスペクトル過程を用いて特徴付けること。
• 独立同分布かつ定期的変動するインノベーションを持つバナッハ空間における線形過程が、いつ定期的変動を示すかを確立すること。
• 有限次元における極値依存概念（例：極値インデックス、極値コログラム）を、スペクトル過程を介して関数時系列に統一的かつ拡張すること。

提案手法

• 分離可能なバナッハ空間 $\mathbb{B}$ における定常時系列 $(X_t)_{t\in\mathbb{Z}}$ の共同定期的変動を、$ u \to \infty $ のとき $ \|X_0\| > u $ 条件下での $ (X_t/u)_{t\in\mathbb{Z}} $ の弱収束によって定義する。
• スケーリング過程の弱極限として、尾部過程 $ (Y_t)_{t\in\mathbb{Z}} $ を導入し、その分解は径方向成分（尾部指数 $\alpha$ によって決定）と角方向成分（スペクトル過程）に分かれる。
• 条件付きで $ \|X_0\| > u $ の下での $ (X_t / \|X_0\|)_{t\in\mathbb{Z}} $ の弱極限として、スペクトル過程 $ (\Theta_t)_{t\in\mathbb{Z}} $ を定義し、極値依存構造を捉える。
• 尾部過程およびスペクトル過程の分布が、$ t \geq 0 $ への制限によって完全に決定されることを証明し、前方ダイナミクスからの推論を可能にする。
• 有界線形作用素の下でも定期的変動が保存されることを確立し、i.i.d. かつ定期的変動するインノベーション $ Z_t $ を持つ線形過程 $ X_t = \sum_{i\in\mathbb{Z}} T_i Z_{t-i} $ の解析を可能にする。
• 線形過程の確実収束および定期的変動を保証するための作用素ノルム $ \|T_i\| $ に関する条件を導出し、和分条件およびポターティーレムを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次モーメントが存在しない場合、関数時系列における極値依存はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 バナッハ空間値時系列の共同定期的変動と、時刻0における大規模なノルム条件下でのスケーリング時系列の弱収束との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 尾部過程およびスペクトル過程は、無限次元設定における時間的および空間的極値依存をどのように捉えているか？
• RQ4 インノベーションがi.i.d. かつ定期的変動する場合、バナッハ空間における線形過程がいつ定期的変動を示すか？
• RQ5 古典的な極値依存ツール（例：極値コログラム、極値インデックス）は、スペクトル過程を用いて関数時系列にどの程度一般化可能か？

主な発見

• 分離可能なバナッハ空間における定常時系列の共同定期的変動は、$ u \to \infty $ のとき $ \|X_0\| > u $ 条件下での $ (X_t/u)_{t\in\mathbb{Z}} $ の弱収束と同値であり、極限は尾部過程である。
• スペクトル過程 $ (\Theta_t)_{t\in\mathbb{Z}} $ は、$ \|X_0\| > u $ 条件下での $ (X_t / \|X_0\|)_{t\in\mathbb{Z}} $ の弱極限として定義され、時間的・空間的極値依存を完全に特徴付ける。
• 尾部過程は、$ \|X_0\| $ の尾部指数 $\alpha$ によって決定される径方向成分と、スペクトル過程である角方向成分に分解され、スケールと依存構造を分離可能である。
• 線形過程 $ X_t = \sum_{i\in\mathbb{Z}} T_i Z_{t-i} $ において、インノベーション $ Z_t $ がi.i.d. かつ定期的変動する場合、作用素ノルムに $ \sum_{i\in\mathbb{Z}} \|T_i\|^\alpha < \infty $ が成り立つと定期的変動が成立する。
• このような線形過程のスペクトル過程は、極値的挙動が単一の大きなインノベーションによって駆動されるという直感を反映し、スペクトル過程は最大のショックに対応するインデックスに質量を集約する。
• 和 $ \sum_i X_i $ の尾部確率 $ \operatorname{P}(\|\sum_i X_i\| > x) $ の漸近的挙動は、$ \sum_i \operatorname{P}(\|X_i\| > x) $ と漸近的に同値であることが示され、収束速度はスローリング関数 $ V(x) $ と指数 $ \alpha $ によって制御される。