[論文レビュー] Regulators of canonical extensions are torsion: the smooth divisor case

Jaya Nn Iyer, Carlos Simpson|ArXiv.org|Jul 3, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Reznikovの定理を一般化し、滑らかな準射影的多様体に於いて無限遠点における単位的モノドロミーを有する平坦ベクトル束の2次チャーン・サイモンズ類—Deligneの標準拡張のレギュレーターとして定義される—が、$ p > 1 $ に対して $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ において torsion であることを証明する。証明は複素Hodge構造の変形とレギュレーターの剛性を用い、無限遠点に滑らかな除数を持つコンパクト化 $ X $ におけるDeligneチャーン類への一般化を含む。

ABSTRACT

In this paper, we prove a generalization of Reznikov's theorem which says that the Chern-Simons classes and in particular the Deligne Chern classes (in degrees $>1$) are torsion, of a flat bundle on a smooth complex projective variety. We consider the case of a smooth quasi--projective variety with an irreducible smooth divisor at infinity. We define the Chern-Simons classes of Deligne's canonical extension of a flat vector bundle with unipotent monodromy at infinity, which lift the Deligne Chern classes and prove that these classes are torsion.

研究の動機と目的

• 滑らかな準射影的多様体に滑らかな除数を無限遠点に持つ場合に、Reznikovのチャーン・サイモンズ類のtorsion性に関する定理を拡張すること。
• 平坦束の標準拡張のDeligneチャーン類を引き上げる、コンパクト化 $ X $ 上での2次的類を定義すること。
• $ p > 1 $ に対して、これらの2次的類が $ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ において torsion であることを示し、この設定においてBlochの予想を一般化すること。
• $ X $ が射影的であるとき、標準拡張のDeligneチャーン類が torsion であることを確立すること。

提案手法

• 除数 $ D $ のチューブ近傍上での局所接続形式と $ C^\infty $-自明化を用いて、Deligneの標準拡張上に patched 接続を構成する。
• patched 接続のレギュレーターとして、$ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ 内に2次的類を定義し、これによりDeligneチャーン類を引き上げる。
• モノドロミー表現の変形における2次的類の剛性を用い、数体上に定義された表現に還元すること。
• Mochizukiの定理を用いて、単位的モノドロミーを保ちつつ表現を複素Hodge構造の変形に変形する。
• Borelの体積レギュレーターの定理とReznikovの議論を適用し、普遍類の引き戻しのtorsion性を示す。
• 複素Hodge構造に対して体積レギュレーターが消えることを利用し、レギュレーター類のtorsion性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p > 1 $ に対して、無限遠点における単位的モノドロミーを有する平坦束の2次チャーン・サイモンズ類は、$ H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ において torsion か？
• RQ2 滑らかな除数を無限遠点に持つ滑らかな準射影的多様体上での平坦束の標準拡張のDeligneチャーン類は、torsion と見なせるか？
• RQ3 標準拡張上に patched 接続を用いて定義されたレギュレーター類は、Deligneチャーン類を引き上げるか？ そして、その類は torsion か？
• RQ4 複素Hodge構造への変形を用いて、レギュレーターのtorsion性を確立できるか？
• RQ5 この拡張された設定において、体積レギュレーターと2次的類のtorsion性の関係は何か？

主な発見

• $ p > 1 $ に対して、標準拡張上での patched 接続を用いて定義された2次的類 $ \widehat{c}_p(\rho/X) \in H^{2p-1}(X, \mathbb{C}/\mathbb{Z}) $ は torsion である。
• $ X $ が射影的であるとき、標準拡張のDeligneチャーン類 $ c^\mathcal{D}_p(E_X) \in H^{2p}_\mathcal{D}(X, \mathbb{Z}(p)) $ は torsion である。
• レギュレーター類はモノドロミー表現の変形に対して不変であり、これにより数体上に定義された表現に還元可能である。
• 複素Hodge構造に対して、体積レギュレーター $ Vol_{2p-1}(\rho^\sigma) \in H^{2p-1}(X, \mathbb{R}) $ は消えるため、レギュレーター類のtorsion性が示される。
• 証明は、レギュレーターの剛性および、コホモロジーにおける普遍類の引き戻しが有理数ホモロジー上でゼロであること（ゆえに torsion であること）に依拠する。
• この結果により、Reznikovの定理は、滑らかな除数を無限遠点に持つ滑らかな準射影的多様体の設定に拡張され、Blochの予想が一般化される。