[論文レビュー] Reidemeister number of any automorphism of a Gromov hyperbolic group is infinite

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|Jan 1, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、幾何的群論および力学系を用いて、非初等的グロモフ双曲的群の任意の自己同型について、リーデマイスター数が無限大であることを証明する。固定点理論を用いて位相的双対を確立し、双曲的力学におけるねじれ共役類のセレボルグ型トレース公式の類似を提案する。また、擬アノソフな曲面自己同型におけるこのような共役類の漸近的成長を示す。

ABSTRACT

We show that the number of twisted conjugacy classes is infinite for any automorphism of non-elementary, Gromov hyperbolic group . An analog of Selberg theory for twisted conjugacy classes is proposed.

研究の動機と目的

• 非初等的グロモフ双曲的群の任意の自己同型について、リーデマイスター数が無限大であることを証明すること。
• コンパクトな多面体上の自己写像の固定点類を用いて、リーデマイスター数の位相的類似を確立すること。
• 双曲的群におけるねじれ共役類のセレボルグ理論の類似を提唱すること。
• 擬アノソフな曲面自己同型におけるノルムが有界なねじれ共役類の数の漸近的展開を導出すること。

提案手法

• 群におけるねじれ共役類を半直積群における共役類に関連付けるために、マッピングトーラスの構成を用いる。
• デルザントの補題を適用して、アーベル正規部分群に関する商群のコセットに無限個の共役類が含まれることを示す。
• 負に曲がった多様体の幾何とセレボルグのトレース公式を用いて、原始的閉測地線の漸近的成長を分析する。
• 擬アノソフ写像のマッピングトーラスにおいて、ねじれ共役類と原始的閉測地線との間の一対一対応を確立する。
• 長さ ≤ x の測地線の数の漸近的展開を用いて、ねじれ共役類の成長率を導出する。
• マッピングトーラスにおける関連する原始的閉測地線の長さを用いて、ねじれ共役類にノルムを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非初等的グロモフ双曲的群の任意の自己同型について、リーデマイスター数は無限大であるか？
• RQ2 双曲的群におけるねじれ共役類のセレボルグ理論の類似は構築可能か？
• RQ3 擬アノソフな曲面自己同型におけるノルムが有界なねじれ共役類の数の漸近的成長率は何か？
• RQ4 基本群が双曲的なコンパクト多面体上のホメオモルフィズムの固定点類の数は、無限大のリーデマイスター数を持つか？

主な発見

• 非初等的グロモフ双曲的群の任意の自己同型について、リーデマイスター数は無限大である。
• 擬アノソフな曲面自己同型において、ノルムが x 以下のねじれ共役類の数は、漸近的に e^{2x}/x^{3/2} に比例する。
• 展開には、ハイパボリック3次元多様体 T_f の体積に依存する正の主要定数 C₀ が含まれる。
• 展開における定数 C_n は n が奇数のとき消えるため、係数に特定の偶奇構造が存在することが示唆される。
• 固定点類および持ち上げ類の数のうち、ノルムが有界なものの成長率も、ねじれ共役類の数と同じ漸近的割合で増加する。
• 本結果により、擬アノソフ自己同型の下で、表面群の特別な場合におけるデルザントの補題の解析的証明が得られる。