[論文レビュー] Reinforced Generation of Combinatorial Structures: Ramsey Numbers

Ansh Nagda, Prabhakar Raghavan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2026

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 0

ひとこと要約

論文は AlphaEvolve を用い、LLM ベースのコード変異エージェントとして、いくつかの Ramsey 数の下界を改善し、r,s の小さな組み合わせに対して多くの既知の下界を回復または一致させる。

ABSTRACT

We present improved lower bounds for five classical Ramsey numbers: $\mathbf{R}(3, 13)$ is increased from $60$ to $61$, $\mathbf{R}(3, 18)$ from $99$ to $100$, $\mathbf{R}(4, 13)$ from $138$ to $139$, $\mathbf{R}(4, 14)$ from $147$ to $148$, and $\mathbf{R}(4, 15)$ from $158$ to $159$. These results were achieved using AlphaEvolve, an LLM-based code mutation agent. Beyond these new results, we successfully recovered lower bounds for all Ramsey numbers known to be exact, and matched the best known lower bounds across many other cases. These include bounds for which previous work does not detail the algorithms used. Virtually all known Ramsey lower bounds are derived computationally, with bespoke search algorithms each delivering a handful of results. AlphaEvolve is a single meta-algorithm yielding search algorithms for all of our results.

研究の動機と目的

• 古典的 Ramsey 数 R(r,s) の下界を、r-clique もしくは s-独立集合を持たないより大きなグラフを構築することで増大させる。
• 単一のメタアルゴリズムが複数の (r,s) 対に対して有効な探索手順を生成できることを実証する。
• AlphaEvolve が Ramsey 表の多くの既知セルに対して最先端の下界を回復または一致させ得ることを示す。

提案手法

• r-clique および s-独立集合を避けるグラフを生成する探索アルゴリズムの集団を維持する。
• 選択された親から新しい探索プログラムを変異・提案させるために LLM を使用し、候補グラフ（G1, G2）を作成・実行する。
• 候補プログラムを、グラフサイズ（より大きな有効グラフを報酬）と、G2 が期待値からどれだけ逸脱するかに結びつけたペナルティ/ボーナスで評価し、探索を誘導する。
• ランダム、代数的（Paley、三次元剰余）、循環/回転ブートストラップ、より複雑なハイブリッドなどの初期化戦略を適用する。
• 特定の (r,s) セルのアルゴリズムを詳述し、Table 2 で初期化を分類する；Radziszowski（2024）のSoTAと結果を比較する。
• 探索中の clique/独立集合評価を管理するために、カウントヒューリスティクスと段階的/構造化チェックを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AlphaEvolve は選択された (r,s) ペアに対して prior 手法より大きな Ramsey-number ウィットネスグラフを見つけられるか。
• RQ2 既知の小さな Ramsey 数に対して、AlphaEvolve は最良知られている下界をどの程度回復または一致させられるか。
• RQ3 さまざまな初期化戦略は Ramsey 下界探索の質と効率にどのような影響を与えるか。
• RQ4 進化した探索アルゴリズムは転用可能な洞察を示すのか、それとも特定の (r,s) 対に極めて適合したものか。
• RQ5 代数的構造（例：Paley、循環グラフ）はより大きな有効構築を可能にする役割をどのように果たすか。

主な発見

• 新たな下界の達成：R(3,13)=61, R(3,18)=100, R(4,13)=139, R(4,14)=148, および R(4,15)=159。
• AlphaEvolve は Ramsey 表の28 個の既知セルに対して最先端の下界を回復または超えた。
• この手法は、正確に知られている境界をすべて回復し、他の多くのセルで最良-known 下界と一致した。
• 単一のメタアルゴリズムが多様な Ramsey 対象に対して有効な探索手順を生成できることを示した。
• AlphaEvolve によって発見されたアルゴリズムはしばしば代数的または循環的構造を活用し、複数のヒューリスティクスを組み合わせる。
• 成功した探索には三つのメタパターンがあることを強調する：代数的構造の利用、ヒューリスティクスの連鎖、近似的カウントの加速。