[論文レビュー] Reinhardt cardinals and non-definability

Farmer Schlutzenberg|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ZFおよびZF₂における初等埋め込みの非定義可能性を調査し、Reinhardt基数が $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ を意味することを証明し、$ \Sigma_1 $-初等埋め込み $ j:V_\delta \to V_\delta $ がパラメータから定義可能でないことを示している。これは、反復が完全に初等的になる場合でさえも同様である。$ V_{\delta+1} $ への埋め込みについても強い非定義可能性結果を確立し、強制拡大は推移的内部モデルへの新しい初等埋め込みを追加できないことを示している。

ABSTRACT

Work in $\mathsf{ZF}$ or $\mathsf{ZF}_2$ (second order $\mathsf{ZF}$), as appropriate. Recall that a Reinhardt cardinal is the critical point of a (non-trivial) elementary embedding $j:V ightarrow V$. Beyond these, one has super-Reinhardt, total Reinhardt and Berkeley cardinals. We prove the following results. Let $X$ be a set and $A$ a class. Then (i) if there is a Reinhardt cardinal then $V eq\mathrm{HOD}(X)$, and (ii) if $V$ is total Reinhardt or there is a Berkeley cardinal then $V eq\mathrm{HOD}_A(X)$. Let $\delta$ be a limit ordinal and $j:V_\delta o V_\delta$ be $\Sigma_1$-elementary. Then (i) $j$ is not definable from parameters over $V_\delta$, and (ii) there is $n<\omega$ such that the $n^{\mathrm{th}}$ iterate $j^n=j(j(\ldots (j))):V_\delta o V_\delta$ is fully elementary; in fact, $j^n:(V_\delta,A) o(V_\delta,j^n(A))$ is fully elementary for all $A\subseteq V_\delta$. Let $\delta$ be any ordinal and $j:V_{\delta+1} o V_{\delta+1}$ be fully elementary. Then $j$ is not definable over $V_{\delta+1}$ from parameters in $V_\delta$. Suppose $V=L(V_\delta)$ and $\mathrm{cof}(\delta)>\omega$. Then there is no $\Sigma_1$-elementary $j:V_\delta o V_\delta$. Let $G$ be $(V,\mathbb{P})$-generic for some $\mathbb{P}\in V$. Then (i) if $V[G]$ has a super-Reinhardt cardinal, then $V$ has a super-Reinhardt cardinal; (ii) if $\mathbb{P}\in V_\delta$ and $V[G]\models$``$V_\delta^{V[G]}$ is total Reinhardt'' then $V\models$``$V_\delta$ is total Reinhardt''; and (iii) if $V[G]$ has a set of ordinals which is not in $V$, then $V[G]$ has no elementary $j:V[G] o M\subseteq V$. We also develop the theory of ultrapowers by extenders under $\mathsf{ZF}$, and show that if there is a proper class of Lowenheim-Skolem cardinals, then being the critical point of an elementary $j:V o M$ (with $M$ transitive) is first-order.

研究の動機と目的

• Reinhardt基数の存在が、任意の集合 $ X $ に対して $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ を意味することを確立し、このような基数がHOD枠組み内に収まり得ないことを示すこと。
• $ \Sigma_1 $-初等埋め込み $ j:V_\delta \to V_\delta $ の定義可能性を調査し、$ V_\delta $ 上でパラメータから定義可能でないことを証明すること。これは、$ j $ 自体が定義可能でなくても、反復が完全に初等的になることと矛盾しない。
• $ V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ への完全に初等的な埋め込み $ j $ の振る舞いを分析し、$ V_{\delta+1} $ 上で $ V_\delta $ のパラメータから定義可能でないことを示すこと。
• 強制拡大における大基数性質の保存を分析し、super-Reinhardt基数および全Reinhardt性質が、元のモデルから強制拡大へと持ち上がるのを証明すること。
• ZFにおける拡張子による超限積の理論を構築し、L"owenheim-Skolem基数の真のクラスが存在する場合、推移的クラスへの初等埋め込みの臨界点が一階論理的に定義可能であることを示すこと。

提案手法

• 初等埋め込み $ j:V \to V $ の分析に、ZFおよびZF₂（第二階Zermelo-Fraenkel集合論）を基礎的体系として用いる。臨界点とその定義可能性に焦点を当てる。
• 反復性の議論を適用し、$ \Sigma_1 $-初等的 $ j:V_\delta \to V_\delta $ に対して、$ j $ が定義可能でなくても、ある反復 $ j^n $ が完全に初等的になることを示す。
• 強制拡大 $ V[G] $ に $ \mathbb{P} \in V $ を用い、特にsuper-Reinhardtおよび全Reinhardt基数の性質の移行を分析する。
• モデル理論的議論により非定義可能性を確立する：$ j $ が $ V_\delta $ 上でパラメータから定義可能ならば、特定の埋め込みの非定義可能性と矛盾する。
• ZFにおける拡張子による超限積の理論を導入・発展させ、L"owenheim-Skolem基数の真のクラスが存在する場合、推移的クラスへの初等埋め込みの臨界点が一階論理的に定義可能であることを示す。
• $ V = L(V_\delta) $ および $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $ の仮定を用い、定義可能性と閉包性の矛盾により、$ \Sigma_1 $-初等的 $ j:V_\delta \to V\delta $ が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある集合 $ X $ に対して $ V = \mathrm{HOD}(X) $ であるモデルにReinhardt基数が存在可能か？この論文は、それが不可能であることを示している。
• RQ2 $ \Sigma_1 $-初等的埋め込み $ j:V_\delta \to V_\delta $ は、$ V_\delta $ 上でパラメータから定義可能か？この論文は、そうではないことを証明している。
• RQ3 $ V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ への完全に初等的埋め込み $ j $ は、$ V_{\delta+1} $ 上で $ V_\delta $ のパラメータから定義可能か？この論文は、できないことを示している。
• RQ4 強制拡大 $ V[G] $ にsuper-Reinhardt基数が存在する場合、元のモデル $ V $ にも存在するか？この論文は、強制の絶対性により、これに肯定的に答える。
• RQ5 初等埋め込み $ j:V \to M $（$ M $ が推移的）の臨界点であるという性質は、ZFにおいて一階論理的に定義可能か？この論文は、L"owenheim-Skolem基数の真のクラスが存在する場合、そのように定義可能であることを示している。

主な発見

• Reinhardt基数が存在するならば、任意の集合 $ X $ に対して $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ である。これは、このような基数がHOD枠組みの外にあることを示している。
• 任意の $ \delta $ に対して、$ j:V_\delta \to V_\delta $ が $ \Sigma_1 $-初等的ならば、$ j $ は $ V_\delta $ 上でパラメータから定義可能でない。これは、反復 $ j^n $ が完全に初等的になることと矛盾しない。
• 任意の $ \delta $ に対して、$ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ が完全に初等的ならば、$ j $ は $ V_{\delta+1} $ 上で $ V_\delta $ のパラメータから定義可能でない。
• $ V = L(V_\delta) $ かつ $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $ ならば、$ \Sigma_1 $-初等的 $ j:V_\delta \to V_\delta $ は存在しない。これは、定義可能性と閉包性の制約による。
• $ V[G] $ にsuper-Reinhardt基数が存在するならば、$ V $ にもsuper-Reinhardt基数が存在する。これは、このような基数が強制によって生成されないことを示している。
• $ \mathbb{P} \in V_\delta $ かつ $ V[G] \models \text{``}V_\delta^{V[G]} \text{ は全Reinhardtである''} $ ならば、$ V \models \text{``}V_\delta \text{ は全Reinhardtである''} $ である。これは、強制による保存性を示している。
• $ V[G] $ に $ V $ に属さない順序数の集合が存在するならば、$ V[G] $ は $ V[G] \to M \subseteq V $ なる初等埋め込み $ j $ を持たない。これは、新しい埋め込みに対する強い制限を示している。