[論文レビュー] Reinterpretation and Extension of Entropy Correction Terms for Residual Distribution and Discontinuous Galerkin Schemes.

Rémi Abgrall, Philipp Öffner+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 49被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、SBP-SATフレームワーク内での最適化問題の解として定式化することにより、残留分配法および不連続ガラーキン法に対するエントロピー補正項を拡張する。エントロピー不等式、複数の制約、運動エネルギー保存のための明示的解を提供し、遅延補正法を用いて完全離散のエントロピー保存／散逸型スキームを達成することで、双曲型保存則に対する体系的構造保存型離散化が可能になる。

ABSTRACT

For the general class of residual distribution (RD) schemes, including many finite element (such as continuous/discontinuous Galerkin) and flux reconstruction methods, an approach to construct entropy conservative/ dissipative semidiscretizations by adding suitable correction terms has been proposed by Abgrall (J.~Comp.~Phys. 372: pp. 640--666, 2018). In this work, the correction terms are characterized as solutions of certain optimization problems and are adapted to the SBP-SAT framework, focusing on discontinuous Galerkin methods. Novel generalizations to entropy inequalities, multiple constraints, and kinetic energy preservation for the Euler equations are developed and tested in numerical experiments. For all of these optimization problems, explicit solutions are provided. Additionally, the correction approach is applied for the first time to obtain a fully discrete entropy conservative/dissipative RD scheme. Here, the application of the deferred correction (DeC) method for the time integration is essential. This paper can be seen as describing a systematic method to construct structure preserving discretization, at least for the considered example.

研究の動機と目的

• 既存の枠組みを超えて、残留分配スキームにおけるエントロピー補正項を一般化すること。特に不連続ガラーキン法に向けたものである。
• 高次スキームにおけるエントロピー保存／散逸型半離散化の体系的構築手法の欠如に応えること。
• エントロピー方程式および運動エネルギー保存の両方を満たすように、補正技術を複数の制約に拡張すること。
• 遅延補正（DeC）法による時間積分を用いて、完全離散のエントロピー保存／散逸型スキームを構築すること。
• 双曲型保存則における構造保存型離散化を体系的かつ最適化ベースのフレームワークで構築するための一般化可能な手法を提供すること。

提案手法

• エントロピー安定性を保証するため、エントロピー補正項を制約付き最適化問題の解として定式化する。
• 不連続ガラーキンスキームにおける安定性および保存性を確保するため、補正手法をSBP-SATフレームワークに適応する。
• エントロピー不等式制約および複数の制約下での補正項に対して、明示的な解析的解を導出する。
• 最適化フレームワークに追加の制約を組み込むことで、Euler方程式における運動エネルギー保存を実現する新規拡張を提案する。
• 完全離散のエントロピー保存／散逸型スキームの構築のため、時間積分に遅延補正（DeC）法を適用する。
• ベンチマーク問題に対する数値実験を通じて、アプローチの妥当性を検証し、エントロピーおよび運動エネルギーの保存が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適化ベースの定式化を用いて、残留分配スキームにおけるエントロピー補正項を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 補正手法は、エントロピー保存と運動エネルギー保存といった複数の制約を同時に満たすように一般化可能か？
• RQ3 SBP-SATフレームワークは、不連続ガラーキン法における安定かつ保存的なエントロピー補正項の実現にどのように寄与するか？
• RQ4 遅延補正（DeC）法は、完全離散のエントロピー保存／散逸型スキームを達成するためにどのように活用できるか？
• RQ5 双曲型系におけるさまざまなエントロピーおよび物理的制約下で、補正項の明示的解は存在するか？

主な発見

• 本稿では、エントロピー不等式制約下でのエントロピー補正項に対して明示的な解析的解を提供し、即時の実装が可能になる。
• 最適化フレームワークに追加の制約を組み込むことで、Euler方程式における運動エネルギー保存が補正手法によって成功裏に実現された。
• エントロピー保存および運動エネルギー保存を含む複数の制約が、提案された最適化ベースの補正定式化により同時に満たせることを示した。
• 遅延補正（DeC）法により、初めて完全離散のエントロピー保存／散逸型残留分配スキームが構築可能となった。
• 数値実験により、提案スキームがテストケース全体にわたりエントロピー安定性および運動エネルギー保存を維持することが確認された。
• 本フレームワークは、双曲型保存則における構造保存型離散化を体系的かつ一般化可能に構築するための手法を提供する。