[論文レビュー] Related by Similarity II: Poncelet 3-Periodics in the Homothetic Pair and the Brocard Porism

Dan Reznik, Ronaldo Garcia|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Mathematics and Applications参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、同一中心の同心楕円対に内接するPoncelet 3周期三角形と、固定された外接円およびBrocard内接楕円を持つBrocardのポルズムに従う三角形の2つの族を結ぶ可変類似変換を確立する。主な貢献は、両族がBrocard角 ω を保存することを証明し、その結果cotangentの和が不変であることを示し、角を保存する写像を用いて両族の類似性を示したことである。これは、共焦点ビリヤードにおけるr/Rの不変性に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

Previously we showed the family of 3-periodics in the elliptic billiard (confocal pair) is the image under a variable similarity transform of poristic triangles (those with non-concentric, fixed incircle and circumcircle). Both families conserve the ratio of inradius to circumradius and therefore also the sum of cosines. This is consisten with the fact that a similarity preserves angles. Here we study two new Poncelet 3-periodic families also tied to each other via a variable similarity: (i) a first one interscribed in a pair of concentric, homothetic ellipses, and (ii) a second non-concentric one known as the Brocard porism: fixed circumcircle and Brocard inellipse. The Brocard points of this family are stationary at the foci of the inellipse. A key common invariant is the Brocard angle, and therefore the sum of cotangents. This raises an interesting question: given a non-concentric Poncelet family (limited or not to the outer conic being a circle), can a similar doppelgänger always be found interscribed in a concentric, axis-aligned ellipse and/or conic pair?

研究の動機と目的

• 同軸楕円対とBrocardのポルズム構成における2つの新しいPoncelet 3周期三角形族における幾何的不変量を調査すること。
• 固定された外接円およびBrocard内接楕円を持つ非同心Poncelet族が、同軸楕円対における類似する同心族に持つ可能性を同定すること。
• これらの2つの族の間で可変類似変換を用いて幾何的対応関係を確立すること。
• これらの変換下での主要三角形量（Brocard角、cotangentの和、三角形中心の軌跡など）の不変性を分析すること。

提案手法

• 同軸楕円対（外側楕円の半軸が(a,b)、内側が(a/2,b/2)）とBrocardのポルズム族との関係をアフィン変換および類似変換を用いて構築する。
• 記号計算と三角恒等式を用いて、同軸族における面積と辺長の二乗和の不変性を証明する。
• cot ω = Σsi² / (4A) といった既知の関係を適用し、両族におけるBrocard角の保存を示す。
• 固定されたBrocard点と反射や円の交点を用いた幾何的構成を用いて、Brocardのポルズムにおける三角形頂点のパラメトリック表現を導出する。
• 重心座標および三角座標を用いて、両族における三角形中心（例：X₂, X₃₉）の軌跡を計算する。
• 記号代数と数値的検証を用いて結果を検証し、特にPeter Mosesによる固定Brocard点族の構築に貢献した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された外接円およびBrocard内接楕円を持つ非同心Poncelet族が、可変類似変換によって同心で同軸な楕円対に類似する可能性はあるか？
• RQ2 Brocard角はBrocardのポルズム族全体で不変であるか。その場合、これを保証する幾何的または代数的条件は何か？
• RQ3 同軸3周期族とBrocardのポルズム族を結ぶ変換の性質は何か。この変換は角を保存するか。また、主要な三角形不変量を保存するか？
• RQ4 X₂（重心）およびX₃₉（Brocard内接楕円中心）といった三角形中心の軌跡は、これらの2つの族においてどのように振る舞うか？
• RQ5 すべての固定Brocard点を持つ三角形に対する一般構成は存在するか。その構成を代数的または幾何的に表現できるか？

主な発見

• 同軸楕円対における3周期族は、面積と辺長の二乗和の両方を保存する。面積は A = (3√3 ab)/2、Σsi² = (9/2)(a² + b²) である。
• Brocard角 ω は同軸族およびBrocardのポルズム族の両方で不変であり、同軸系では cot ω = √3(a² + b²)/(2ab) が成り立つ。
• Brocardのポルズム族では、Brocard点がBrocard内接楕円の焦点に固定されており、Brocard円およびその他の名前が付いた円は中心と半径が固定されている。
• 同軸族とBrocardのポルズム族は、角を保存する可変類似変換によって関連づけられており、これがBrocard角とcotangent和の共通不変性を説明している。
• Brocardのポルズム族におけるX₂（重心）の軌跡は、中心が [0, -√(4a⁴ - 5a²b² + b⁴)/(3b)]、半径が 2(a² - b²)/(3b) の円である。一方、同軸族におけるX₃₉（Brocard内接楕円中心）の軌跡は、半軸 (a₃₉, b₃₉) = (c²/2)(a/(a² + 3b²), b/(3a² + b²)) の楕円である。
• Brocard円、Gallatly円、Moses円などの複数の名前が付いた円は、Brocardのポルズム族において中心が固定され、半径が不変であり、半径はRとωにのみ依存する。これにより、幾何的安定性が確認された。