[論文レビュー] Relating Complexity-theoretic Parameters with SAT Solver Performance

Edward Zulkoski, Ruben Martins+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、CDCL SATソルバーにおけるリスタートを組み込んだ新たな複雑性理論的パラメータとして、リスタート付き学習感受性バックドア（LSR）を導入する。LSバックドアを拡張したこのパラメータは、最小LSRバックドアサイズの上界を特定するためのアルゴリズムを提案し、特定の論理式において最小LSRバックドアが最小LSバックドアよりも指数的に小さくなることを理論的に示している。これは、産業分野のインスタンスにおいてソルバーの効率が高まる理由を説明する。

ABSTRACT

Over the years complexity theorists have proposed many structural parameters to explain the surprising efficiency of conflict-driven clause-learning (CDCL) SAT solvers on a wide variety of large industrial Boolean instances. While some of these parameters have been studied empirically, until now there has not been a unified comparative study of their explanatory power on a comprehensive benchmark. We correct this state of affairs by conducting a large-scale empirical evaluation of CDCL SAT solver performance on nearly 7000 industrial and crafted formulas against several structural parameters such as backdoors, treewidth, backbones, and community structure. Our study led us to several results. First, we show that while such parameters only weakly correlate with CDCL solving time, certain combinations of them yield much better regression models. Second, we show how some parameters can be used as a "lens" to better understand the efficiency of different solving heuristics. Finally, we propose a new complexity-theoretic parameter, which we call learning-sensitive with restarts (LSR) backdoors, that extends the notion of learning-sensitive (LS) backdoors to incorporate restarts and discuss algorithms to compute them. We mathematically prove that for certain class of instances minimal LSR-backdoors are exponentially smaller than minimal-LS backdoors.

研究の動機と目的

• CDCL SATソルバーの性能に与える構造的パラメータ（バックドア、木幅、コミュニティ構造など）の説明力について、包括的な評価を行う。
• 多様な産業的および生成されたベンチマークにおいて、解法時間と最も相関の高いパラメータを同定する。
• CDCLソルバーにおけるリスタートを反映した新たなパラメータ、LSRバックドアを考案し、既存のバックドアモデルを改善する。
• 理論的および実験的証拠を提供し、LSRバックドアがLSバックドアよりも指数的に小さくなることを示し、実世界のインスタンスにおけるソルバー効率を説明する。
• 産業的SATインスタンスにおける有望な構造的特徴を同定することで、将来のパrameterized複雑性解析およびソルバー設計を支援する。

提案手法

• SATコンペティションのアプリケーション、クラフト、アグイルトラックから約7,000のSATインスタンスを対象に大規模な実験的評価を実施した。
• 各インスタンスについて、バックドア、木幅、バックボーン、コミュニティ構造のモジュラリティといった構造的パラメータを計算した。
• 回帰モデルを用いて、個々のパラメータおよびその組み合わせがCDCLソルバーの解法時間に与える予測力の程度を評価した。
• 先行研究の句読点吸収に基づく、最小LSRバックドアサイズの上界を計算するための新規アルゴリズムを提案した。
• 理論的分析により、意思決定順序における順序外変数割り当ての数が、LSバックドアサイズの下界を決定することが示された。
• 特定の論理式に対して、最小LSRバックドアはO(log N)である一方、最小LSバックドアはΩ(N)であることを証明した。ただし、1st-UIP学習およびバックジャンプなしを仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バックドア、木幅、コミュニティ構造といった構造的パラメータは、CDCL SATソルバーの解法時間とどの程度相関しているか？
• RQ2 構造的パラメータの組み合わせは、個々のパラメータよりも顕著に優れた回帰モデルを構築できるか？
• RQ3 LSRバックドアとLSバックドアはどのように異なるのか？どのような状況でLSRバックドアが指数的に小さくなるのか？
• RQ4 産業的インスタンスは、クラフトインスタンスやランダムインスタンスと比較して、より好都合な構造的パラメータ値を示す程度はどの程度か？
• RQ5 LSRバックドアは、特にリスタートを伴う状況において、さまざまなCDCLヒューリスティクスの有効性を理解するためのレンズとして機能できるか？

主な発見

• 個々の構造的パラメータはCDCL解法時間と弱いから中程度の相関しか示さないが、特定の組み合わせは特にアグイルベンチマークにおいて顕著に優れた回帰モデルを構築できる。
• アプリケーションおよびアグイルインスタンスは、クラフトインスタンスと比較して顕著に優れた構造的パラメータ値（例えば、より小さいバックドア、より高いモジュラリティ）を示しており、構造的利点が内在していると考えられる。
• 提案されたLSRバックドアパラメータは、リスタート下でのソルバー動作を捉えられ、特定の論理式においてLSバックドアよりも指数的に小さいバックドアを構築可能である。
• 任意のn > 3に対して、O(log N)の最小LSRバックドアを持つ論理式F_nが存在するが、その最小LSバックドアはΩ(N)である。ただし、バックジャンプなしで1st-UIP学習を仮定する。
• 理論的分析により、意思決定順序における順序外変数割り当ての数が、LSバックドアサイズの下界を直接決定することが確認された。
• 実験的結果から、CDCLソルバーが産業的インスタンスでより良く動作するのは、多数の小さなLSRバックドアが存在するためであり、リスタートによって迅速に収束するためであると示唆される。