[論文レビュー] Relating The Wave-Function Collapse With Euler'S Formula

K. Pedro|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、量子力学における波動関数を、超球を通じた確率分布の幾何学的パrametrizationとして提案する。波動関数の崩壊は、複素数の実部を抽出することに相当し、工学分野におけるオイラーの公式に類似している。すべての量子的崩壊が2次元実波動関数の崩壊に還元されることを証明し、波動関数が一貫した確率計算に不可欠である理由を説明する。

ABSTRACT

One attractive interpretation of quantum mechanics is the ensemble interpretation, where Quantum Mechanics merely describes a statistical ensemble of objects and not individual objects.<br> But this interpretation does not address why the wave-function plays a central role in the calculations of probabilities, unlike most other interpretations of quantum mechanics. We prove: 1) the wave-function is a parametrization of any probability distribution of a statistical ensemble: there is a surjective map from an hypersphere to the set of all probability distributions;<br> 2) for a quantum system defined in a 2-dimensional real Hilbert space, the role of the (2-dimensional real) wave-function is identical to the role of the Euler's formula in engineering, while the collapse of the wave-function is identical to selecting the real part of a complex number;<br> 3) the collapse of the wave-function of any quantum system is a recursion of collapses of 2-dimensional real wave-functions. The wave-function plays a central role because it is a good parametrization that allows us to represent a group of transformations using linear transformations of the hypersphere. It is precisely the fact that the hypersphere is not the phase-space of the theory that implies the collapse of the wave-function. Without collapse, the wave-function parametrization would be inconsistent.

研究の動機と目的

• エンsembles解釈が量子力学を統計的に扱うにもかかわらず、波動関数がなぜ量子確率計算において中心的役割を果たすのかを説明すること。
• 波動関数の崩壊と、オイラーの公式における複素数の実部抽出との間の数学的関係を確立すること。
• 任意の量子系の波動関数の崩壊が、2次元実波動関数の崩壊の再帰的プロセスに還元できることを示すこと。
• 確率分布の超球パラメータ化が、波動関数の崩壊を通じてのみ一貫性を持つことの基礎的矛盾を解消できることを示すこと。

提案手法

• すべての確率分布の空間へのn次元超球からの上への写像を構築し、波動関数を幾何学的パラメータ化として示すこと。
• 2次元実ヒルベルト空間を分析し、波動関数が工学的文脈におけるオイラーの公式と同一に動作することを示すこと。
• この2次元設定において、波動関数の崩壊が複素数の実部の選択に対応することを示すこと。
• 高次元の波動関数の崩壊が、これらの2次元崩壊の再帰的応用として数学的に同等であることを証明すること。
• 超球上の線形変換を用いて確率分布上の群作用を表現し、波動関数が非線形ダイナミクスの簡略化に果たす役割を示すこと。
• 超球が理論の位相空間ではないこと、したがって一貫性を保つために崩壊が必要であることの確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンsembles解釈が個々の波動関数に実在的意義を割り当てないにもかかわらず、なぜ波動関数が量子確率計算において中心的役割を果たすのか？
• RQ2 波動関数の役割は、2次元実ヒルベルト空間において、工学的文脈におけるオイラーの公式とどのように類似しているのか？
• RQ3 任意の量子波動関数の崩壊を、2次元実波動関数の崩壊の系列に還元できるか？
• RQ4 波動関数の崩壊の基礎的根拠は何か？そしてそれは超球パラメータ化の幾何学的構造とどのように関係するか？
• RQ5 なぜ超球は理論の位相空間ではないのか？そしてこれはなぜ崩壊の必要性に導くのか？

主な発見

• すべての確率分布の集合へのn次元超球からの上への写像が存在し、波動関数が幾何的パラメータ化として確立される。
• 2次元実ヒルベルト空間では、波動関数はオイラーの公式と同一に動作し、その崩壊は複素数の実部の選択に正確に対応する。
• 任意の量子系の波動関数の崩壊は、数学的に2次元実波動関数の崩壊の再帰的応用に同等である。
• 波動関数の中心的役割は、超球上の線形作用素による群変換の一貫した表現を可能にするためである。
• 波動関数の崩壊がなければ、確率分布の超球パラメータ化は一貫性を欠くだろう。なぜなら超球は理論の位相空間ではないからである。
• 崩壊の必要性は、幾何的構造に起因するものであり、便宜的な仮定ではない。