[論文レビュー] Relation between two geometrically defined bases in representations of $GL_n$

Alexander Braverman, Dennis Gaitsgory+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$GL_n$ の不可約表現における重み空間におけるスプリンガー基底とミルコヴィッチ＝ヴィロネン（MV）基底が一致することを確立する。幾何的表現論を用いて、アフィングラスマンニアンを通じる表現の2つの実現を比較し、$GL_n$-表現の特徴標数 0 の体上で、ゼスタヴァ空間における交差コホモロジー計算を用いて、畳み込みおよび perverse ファイバーの技法を駆使して等価性を示す。

ABSTRACT

Let $V$ be an irreducible representation of group $GL_n({\mathbb C})$, which appears as a submodule in $({\mathbb C}^n)^{\otimes d}$, where ${\mathbb C}^n$ is the tautological $n$-dimensional representation of $GL_n$, and $d$ is a non-negative integer. On the one hand, following refs [Gi] and [BG] one can produce a basis in $V$ using irreducible components of Sringer fibers over a nilpotent matrix in ${\mathfrak {gl}}_d$, whose Jordan blocks correspond to the highest weight of $V$. On the other hand, one can produce a basis in $V$ by Mirković-Vilonen cycles, a construction that works for an arbitrary reductive group $G$. In this note we prove that the resulting to bases coincide.

研究の動機と目的

• 不可約 $GL_n$-表現の重み空間におけるスプリンガー基底とミルコヴィッチ＝ヴィロネン（MV）基底の等価性を確立すること。
• スプリンガー層とアフィングラスマンニアン上の球的 perverse ファイバーによる表現の2つの幾何的構成を関連付けること。
• 2つのアフィングラスマンニアン $\operatorname{Gr}_{GL_n}$ の積を $\operatorname{Gr}_{GL_n \times GL_n}$ とみなして、2つの基底を比較すること。
• $GL_n \times GL_n$ を $GL_{2n}$ のレヴィ部分群とみなして、幾何的サタケ対応を介して比較を容易にすること。
• ゼスタヴァ空間の交差コホモロジーを計算することで、2つの基底の同一性を証明すること。[BFGM] の結果に依拠する。

提案手法

• 不可約表現 $V^\lambda$ を $V^{\otimes d}$ の直和成分として実現し、$\lambda$ をドミナントコウェイトに対応させる。
• スプリンガー基底を、$\lambda$ に対応するジョルダン型を持つ冪零行列の上でのスプリンガー層の既約成分によって構成する。
• MV 基底を、$\operatorname{Gr}_{GL_n}$ 上の既約球的 perverse ファイバー $\operatorname{IC}^\lambda$ の台と半無限軌道 $S(\mu)$ の交差の既約成分として定義する。
• アフィングラスマンニアン上の畳み込み構造を用いて、球的 perverse ファイバーによる表現のテンソル積を解釈し、スプリンガー基底と同型な第三の基底を得る。
• $\operatorname{Gr}_{GL_n \times GL_n} \simeq \operatorname{Gr}_{GL_{2n}}$ 上で作業し、$GL_n \times GL_n$ を $GL_{2n}$ のレヴィ部分群として埋め込むことで、2つの幾何的基底の比較を可能にする。
• [BFGM] のゼスタヴァ空間の交差コホモロジーに関する結果を応用し、$X^\mu \times_{X^{(d)}} \operatorname{Mod}_E^d$ 上の perverse ファイバーの同型を通じて、2つの基底が一致することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不可約 $GL_n$-表現の重み空間において、スプリンガー基底とミルコヴィッチ＝ヴィロネン基底は一致するか？
• RQ2 スプリンガー層とアフィングラスマンニアン上の球的 perverse ファイバーによる表現の2つの幾何的実現は、共通の幾何的枠組みを通じて関連付けられるか？
• RQ3 アフィングラスマンニアン上の球的 perverse ファイバーの畳み込みによって得られる基底は、スプリンガー基底と同値か？
• RQ4 ゼスタヴァ空間の交差コホモロジーは、$GL_n$ の場合におけるスプリンガー基底と MV 基底の間の橋渡しを果たすか？
• RQ5 2つの基底の比較は、$GL_n \times GL_n \subset GL_{2n}$ のレヴィ埋め込みを介して、$\operatorname{Gr}_{GL_{2n}}$ の幾何学における計算に還元可能か？

主な発見

• 不可約 $GL_n$-表現における重み空間 $V^\lambda(\mu)$ におけるスプリンガー基底とミルコヴィッチ＝ヴィロネン基底は、自然に同型である。
• 2つの異なる方法で同一の perverse ファイバーを構成するが、1つはグローバルなスプリンガー解体を介し、もう1つはアフィングラスマンニアン上の畳み込みを介する。この2つの構成が一致することで、2つの基底の同型が確立される。
• 主な同型は、両方の構成が $\overset{\circ}{X}^\mu \times_{X^\mu} \operatorname{Conv}^{\overline{d}'}(\operatorname{Mod}_E)$ 上で同じ定数 perverse ファイバーを生じることに起因する。この性質は、小写像 $p_n$ によって保存される。
• $\mathfrak{q}(\mu)_!(\mathcal{F}^d_{\text{glob}})[d'(\mu)] \simeq (p_n)_!(\overline{\mathbb{Q}}_\ell[d \cdot n])$ という perverse ファイバーの同型が、$d \cdot x \in X^{(d)}$ 上のファイバーごとおよび全体的に成り立つ。これにより、基底の同値性が確認される。
• 証明は、$p_n: \operatorname{Conv}^{\overline{d}'}(\operatorname{Mod}_E) \to \operatorname{Mod}_E^d$ の小写像性に依拠しており、この性質により、押し出しは perverse t-構造を保存し、コホモロジーを定数層と同一視できる。
• 最終的な基底の同一性は、[BFGM] におけるゼスタヴァ空間の交差コホモロジー計算に起因し、2つの実現を等価にするために必要な幾何的入力を提供する。