[論文レビュー] Relation identities equivalent to congruence modularity

Paolo Lipparini|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、普遍代数学における合同関係のモodularityと同値である、反射的かつ許容的関係を含む新しい関係恒等式を提示する。有向Gumm項と関係的合成を活用することで、恒等式 $Θ(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$ が合同関係のモodularityを特徴付けることが示され、従来の項に基づく定義を超えた新しい代数的特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We present some identities dealing with reflexive and admissible relations and which, through a variety, are equivalent to congruence modularity.

研究の動機と目的

• 代数の多様体において、合同関係のモodularityと同値である新しい関係的恒等式を同定すること。
• 項に基づく恒等式にとどまらず、反射的かつ許容的関係を含む恒等式を用いた、合同関係のモodularityの特徴付けを拡張すること。
• 関係的恒等式と有向Gumm項またはDay項の存在との関係を明確にすること。
• 関係的合成と閉包作用素を用いて、耐性と合同関係の恒等式を体系的に分析できる枠組みを提供すること。

提案手法

• 論文は関係的表記を導入する：積み重ねを交差として、$\circ$ を合成として、$R^{\smallsmile}$ を逆関係として、$R^*$ を推移的閉包として、$\overline{R}$ を $R$ を含む最小の反射的かつ許容的関係として定義する。
• 反射的かつ許容的関係 $R$ を含む最小の耐性を $\Theta_R$ と定義し、耐性を恒等式における変数として扱えるようにする。
• 主な手法は、特定の関係的包含（例：$\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$）が多様体において成り立つのは、その多様体が合同関係のモodularであるとき、かつそのときのみであることを示すことである。
• この関係的恒等式と有向Gumm項の存在との間の同値性を、項の公理から導かれる一連の恒等式の鎖を用いて確立する。
• 関係の結合を $S + T = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} S \circ_m T$ として定義し、これと合同関係格子の演算とを関連付ける。
• 恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq \Theta S \circ_{k-1} \Theta S^\smallsmile$ が成り立つのは、多様体が $k+1$ 個のDay項をもつとき、かつそのときのみであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射的かつ許容的関係を含むどの恒等式が、多様体において合同関係のモodularityと同値か？
• RQ2 関係的合成と閉包は、有向Gumm項の存在とどのように関係するか？
• RQ3 合同関係のモodularな多様体におけるDay項の数は、関係的恒等式によって特徴付けられるか？
• RQ4 恒等式に小さな変更を加えた場合、分配的性質やm-順序交換性といったより強い性質を含意するか？
• RQ5 耐性に基づく恒等式は、普遍代数学において、どの程度まで項に基づく特徴付けを置き換えることができるか？

主な発見

• 多様体において恒等式 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S)^*$ が成り立つのは、その多様体が合同関係のモodularであるとき、かつそのときのみである。
• 恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq (\Theta S \circ \Theta S^\smallsmile)^*$ は、合同関係のモodularityと同値である。
• 恒等式 $\Theta(S \circ T)^* \subseteq \Theta(\overline{S \cup T}) \circ (\Theta S \circ \Theta T)^*$ は、合同関係のモodularityを特徴付ける。
• 恒等式 $\Theta(S \circ S^\smallsmile) \subseteq \Theta S \circ_{k-1} \Theta S^\smallsmile$ が成り立つのは、多様体が $k+1$ 個のDay項をもつとき、かつそのときのみである。
• 恒等式 (1.1) の変種 $\Theta(S \circ S) \subseteq (\Theta S^\smallsmile)^*$ は、モodularityよりも厳密に強いものであり、ある $m$ に対してm-順序交換性を含意する。
• 恒等式 $\Theta(S \circ T^\smallsmile) \subseteq (\Theta S \circ \Theta T^\smallsmile)^*$ は、合同関係の分配的性質と同値であり、モodularityとは同値でない。