[論文レビュー] Relation matroid and its relationship with generalized rough set based on relation

Yanfang Liu, William Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二進関係に基づく一般化された粗い集合における近傍から導かれる先行者・後続者関係マトロイドを導入し、関係とマトロイドの間の双方向的リンクを確立する。関係がその回路によって生成される同値関係をもつマトロイドを誘導することを証明し、関係が同値関係であるとき、粗い集合における上近似作用素とマトロイドにおける閉包作用素が一致することを示す。

ABSTRACT

Recently, the relationship between matroids and generalized rough sets based on relations has been studied from the viewpoint of linear independence of matrices. In this paper, we reveal more relationships by the predecessor and successor neighborhoods from relations. First, through these two neighborhoods, we propose a pair of matroids, namely predecessor relation matroid and successor relation matroid, respectively. Basic characteristics of this pair of matroids, such as dependent sets, circuits, the rank function and the closure operator, are described by the predecessor and successor neighborhoods from relations. Second, we induce a relation from a matroid through the circuits of the matroid. We prove that the induced relation is always an equivalence relation. With these two inductions, a relation induces a relation matroid, and the relation matroid induces an equivalence relation, then the connection between the original relation and the induced equivalence relation is studied. Moreover, the relationships between the upper approximation operator in generalized rough sets and the closure operator in matroids are investigated.

研究の動機と目的

• 近傍構造を用いて、二進関係に基づく一般化された粗い集合とマトロイド理論の間の正式な接続を確立すること。
• 二進関係からの先行者および後続者近傍に基づいて、先行者および後続者関係マトロイドを定義し、分析すること。
• マトロイドがその回路を通じて同値関係をどのように誘導するか、およびその関係が元の関係とどのように関連するかを調査すること。
• 一般化された粗い集合における上近似作用素とマトロイドにおける閉包作用素を比較し、両者が等しくなる条件を特定すること。

提案手法

• 二進関係 R が定義された宇宙 U 上で、関係の到達可能性構造を用いて先行者および後続者近傍を定義する。
• 近傍に基づいて二つのマトロイド（先行者および後続者関係マトロイド）を構築し、後続者マトロイドを主な焦点とする。
• 標準的なマトロイドの概念（従属集合、回路、ランク関数、閉包作用素）を用いてマトロイドを特徴づけ、これらをすべて関係の近傍に基づいて表現する。
• マトロイドから関係を誘導する。{x,y} が回路または x=y である場合に xR(M)y と定義し、誘導された関係が常に同値関係であることを証明する。
• マトロイドの閉包作用素と誘導された関係における上近似作用素を比較し、元の関係が同値関係であるとき両者が等しくなることを示す。
• 双方向の誘導を確立する：関係はマトロイドを誘導し、マトロイドは同値関係を誘導する。元の関係が同値関係であるときかつそのときに限り、誘導された同値関係は元の関係に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進関係から得られる先行者および後続者近傍を用いて、どのようにマトロイドを構築できるか。
• RQ2 二進関係によって誘導される関係マトロイドの主要なマトロイド的性質（例：回路、閉包）は何か。
• RQ3 マトロイドが関係を誘導できるか。もし可能であれば、この構成によって得られる関係の種類は何か。
• RQ4 マトロイドの閉包作用素と誘導された関係の上近似作用素が一致する条件は何か。
• RQ5 元の二進関係と、関連する関係マトロイドによって誘導される同値関係との関係は何か。

主な発見

• 二進関係 R によって誘導される後続者関係マトロイドは、R の後続者近傍構造を用いて完全に特徴づけられる。
• 関係マトロイドの閉包作用素と、R に基づく一般化された粗い集合における上近似作用素が等しいのは、R が同値関係であるときかつそのときに限る。
• マトロイドはその回路を通じて関係 R(M) を誘導し、この誘導された関係は常に同値関係である。
• 関係マトロイド M(R) によって誘導される同値関係が元の関係 R に等しいのは、R が同値関係であるときかつそのときに限る。
• 誘導された同値関係 R(M(R)) は明示的に {(x,y) ∈ U×U : RS_R(x) = RS_R(y)} と表現できる。
• マトロイドにおける単集合 {x} の閉包は、誘導された同値関係における {x} の上近似に加え、すべての回路である単集合に等しい。