[論文レビュー] Relation-theoretic contraction principle in metric-like as well as partial metric spaces

Md Ahmadullah, Abdur Rauf Khan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の二項関係を用いて、距離的類似空間および部分的距離空間におけるバナッハの収縮原理を拡張し、関係論的収縮条件の下で新しい不動点定理を確立している。主な貢献は、関係的完備性と連続性を組み込むことで、既存の文献を一般化するより鋭い不動点結果を提示している。積分型収縮や、やや弱い条件下での不動点の一意性を示す具体的な例を含む応用も提示している。

ABSTRACT

In this paper, we extend the Banach contraction principle to metric-like as well as partial metric spaces (not essentially complete) equipped with an arbitrary binary relation. Thereafter, we derive some fixed point results which are sharper versions of the corresponding known results of the existing literature. Finally, we use an example to demonstrate our main result.

研究の動機と目的

• 距離的類似空間および部分的距離空間におけるバナッハの収縮原理を、完備性を仮定しない状況に一般化すること。
• 任意の二項関係を収縮枠組みに組み込み、関係論的不動点結果を得ること。
• 関係的完備性と連続性の概念を用いることで、既存の文献よりも鋭い不動点定理を確立すること。
• ルベーグ可積分関数を用いて、積分型収縮条件にまで結果を拡張すること。
• 提案された条件のもとで、不動点の適用可能性と一意性を示す具体的な例を提供すること。

提案手法

• 収縮列の収束を保証するため、距離的類似空間の部分集合上における $\sigma$-自己閉じた二項関係の概念を導入する。
• 関係的制約下での距離的類似空間における完備性の一般化を目的として、$\sigma$-完備かつ $\sigma$-自己閉じた関係を定義する。
• 関係論的収縮条件を適用する：$(x,y) \in \mathcal{R}$ に対して $\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$ が成り立ち、$k \in [0,1)$ である。
• 積分型収縮条件を導入する：$\rho \in \Omega$ に対して $\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k \int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$ が成り立つ。ここで $\Omega$ は任意の正の区間で正の積分を持つルベーグ可積分関数の族である。
• 関係 $\mathcal{R}$ が $f$-閉じていることを用いて、写像 $f$ の下で関係が保存されることを保証する。
• 関係的完備性と連続性の下で、$\mathcal{R}$-保存のコーシー列を用いた列の構成法を採用し、一意な不動点への収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備性を仮定しない距離的類似空間において、バナッハの収縮原理を拡張することは可能か？
• RQ2 任意の二項関係を用いて、距離的類似空間および部分的距離空間における不動点条件をどのように精緻化できるか？
• RQ3 どのような関係的完備性および連続性の条件が、収縮写像のもとで不動点の存在と一意性を保証するか？
• RQ4 結果を距離的類似空間における積分型収縮条件にまで一般化できるか？
• RQ5 提案された枠組みは、既存の文献における不動点定理よりも鋭い結果をもたらすか？

主な発見

• 本稿では、$\mathcal{R}$-完備性および $f$-閉じていることの下で、$k \in [0,1)$ に対して $\sigma(fx,fy) \leq k\sigma(x,y)$ を満たす写像 $f$ が、$Y \subseteq X$ 内に不動点を持つことを証明している。
• すべての $x,y \in X$ に対して $\Upsilon(fx,fy,\mathcal{R}^s)$ が空でない場合、関係的比較可能性が保証され、不動点は一意である。
• 例として、$X = \{a,b,c\}$ 上で定義された写像 $f$ について、$\sigma(fa,fc) = 1$ かつ $\sigma(a,c) = 2$ であるとき、$k \in [\frac{1}{2},1)$ の範囲で収縮条件を満たし、不動点は $b$ で一意に得られる。
• 積分型収縮条件 $\int_0^{\sigma(fx,fy)} \rho(t)dt \leq k\int_0^{\sigma(x,y)} \rho(t)dt$ は、同じ関係的完備性および連続性の仮定のもとで、一意な不動点を導く。
• 結果は、Aydi と Karapinar (2012) の補題 3.6 を一般化し、距離的類似空間においてより鋭いバージョンを提供する。
• この枠組みは、距離的類似空間および部分的距離空間の両方に適用可能であり、距離的類似空間のクラスは部分的距離空間のクラスを厳密に包含する。