[論文レビュー] Relation-theoretic metrical fixed point theorems under nonlinear contractions

Ahmadullah, Mohammad Imdad+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の二項関係を備えた距離空間における非線形収縮写像のための新しい不動点定理を確立し、SametとTurinici（2012）およびAlamとImdad（2015）の結果を一般化・統一する。f-閉性、R-完備性、d-自己閉性といった関係論的条件を導入することで、完備性や対称性を仮定しないより弱い条件下でも不動点の存在と一意性を証明する。非完備かつ非対称な設定においても適用可能な例を提示する。

ABSTRACT

We establish fixed point theorems for nonlinear contractions on a metric space (not essentially complete) endowed with an arbitrary binary relation. Our results extend, generalize, modify and unify several known results especially those contained in Samet and Turinici [Commun. Math. Anal. 13, 82-97 (2012)] and Alam and Imdad [J. Fixed Point Theory Appl. 17(4), 693-702 (2015)]. Interestingly a corollary to one of our main results proved under symmetric closure of any binary relation remains a sharpened version of a theorem due to Samet and Turinici. Finally, we use examples to highlight the realized improvements in the results proved in this paper.

研究の動機と目的

• 任意の二項関係を組み込んだ非線形収縮写像の既存の不動点定理を拡張・統一すること。
• 距離空間の完備性および関係の対称性の要件を緩和し、より広範な設定への適用を可能とすること。
• f-閉性やd-自己閉性といった関係論的条件を導入することで、SametとTurinici（2012）およびAlamとImdad（2015）の結果を一般化すること。
• 非完備性や非対称性のため従来の結果が成立しない例において、新定理の有効性を示すこと。
• 対称的閉包を用いた補題により、SametとTuriniciの定理の鋭い形の改善を提供すること。

提案手法

• f-閉性二項関係の概念を導入・利用する。ここで (x,y) ∈ R ならば (fx,fy) ∈ R が成り立つ。
• R-完備性を定義する。これは、X 内のすべての R-保存性を有するコーシー列が収束することを意味し、完全な距離空間の必要性を弱める。
• 関係 R の d-自己閉性を用いる。これは、任意の R-保存性を持つ収束列に対して、ある部分列が [x_{n_k}, x] ∈ R を満たすことを保証する。
• 対称的閉包 S = R ∪ R⁻¹ を用いて、SametとTurinici（2012）の条件、特に正規性と指向性の一般化を図る。
• 収縮条件に非線形制御関数 φ ∈ Φ（増加的かつ部分線形的）を用いる： d(fx,fy) ≤ φ( (d(x,fy) + d(y,fx))/2 )。
• 共通上界の存在を支援するため、R-指向集合の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の二項関係を用いることで、非線形収縮写像の不動点定理を完備距離空間を超えて一般化できるか？
• RQ2 従来の結果（例：SametとTurinici, 2012）における対称性および完備性の仮定をどの程度緩和できるか？
• RQ3 関係 R の f-閉性および d-自己閉性が不動点の存在と一意性にどのように寄与するか？
• RQ4 AlamとImdad（2015）の定理を統合または改善できるか？特に非対称または非完備な設定において。
• RQ5 R の対称的閉包 S が正規性を保証し、不動点定理の適用を可能にする役割は何か？

主な発見

• 本稿は、f-閉性、R-完備性、d-自己閉性、および φ を含む非線形収縮条件の下で不動点定理（定理 2.1）を証明し、非完備距離空間でも有効であることを示す。
• R の対称的閉包 S の下で定理 2.1 の補題を得ることで、SametとTurinici（2012）の結果の鋭い形が得られ、元の定理が成立しない場合にも適用可能になる。
• 例 4.1 は、非完備かつ非対称な関係に対しても本結果が適用可能であり、従来の定理（例：SametとTuriniciの）が成立しないことを示している。
• 例 4.2 は、距離空間が完備でない場合でも、新定理（例：補題 2.8）が有効であることを示しており、SametとTuriniciの定理 1.17 とは対照的である。
• 例 4.3 は、新収縮条件（定理 2.1）が AlamとImdad（2015）の条件を満たさない場合でも不動点を保証できることを確認しており、より一般であることを示している。
• fX が R-指向的で、R|fX が完備である場合、不動点は一意である。例 4.1 でその一意性条件が定理 2.5 および 2.7 で正当化されている。