[論文レビュー] Relational Quadrilateralland. II. The Quantum Theory

Anderson, Edward, Kneller, Sophie|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、配置空間としてCP²およびその円錐C(CP²)を用い、関係的四辺形の最初の正確な量子論的取り扱いを提示する。新しい運動論的量子化を導入し、絶対的運動と相対的運動の区別を運動論的レベルで明確にし、自由および等方的調和振動子のケースを解き、量子宇宙論における摂動論、ピーク解釈、時間の問題への応用に応用する。これは、三角形のケースを越えた有限の量子関係的モデルにおける顕著な進展を示している。

ABSTRACT

This paper provides the quantum treatment of the relational quadrilateral. The underlying reduced configuration spaces are $\mathbb{CP}^2$ and the cone over this, C($\mathbb{CP}^2$). We consider exact free and isotropic HO potential cases and perturbations about these. Moreover, our purely relational kinematical quantization is distinct from the usual one for $\mathbb{CP}^2$, which turns out to carry absolutist connotations instead. Thus this paper is the first to note absolute-versus-relational motion distinctions at the kinematical rather than dynamical level, and also an example of value to the discussion of kinematical quantization along the lines of Isham 1984. This treatment of the relational quadrilateral is the first relational QM with very new mathematics for a finite QM model, and is far more typical of the general quantum relational $N$-a-gon than the previously-studied case of the relational triangle. We consider useful integrals as regards perturbation theory and the peaking interpretation of quantum cosmology. We subsequently consider problem of time applications of this: quantum Kucha\v{r} beables, the Machian version of the semiclassical approach and the timeless naive Schrodinger interpretation. These go toward extending the combined Machian semiclassical-histories-timeless approach of [1] to the case of the quadrilateral, which will be treated in subsequent papers.

研究の動機と目的

• 四辺形の完全な関係的量子理論の構築を目的とし、以前に研究済みの関係的三角形および4ストップ・メトロランドを越えて展開する。
• 標準的な動的処理ではなく、新しい量子化規定により、運動論的レベルで絶対的運動と相対的運動の区別を明確にすること。
• CP²上での自由および等方的調和振動子ポテンシャルに対する正確な解を提供し、明示的な波動関数と量子数を含む。
• 摂動論および量子宇宙論におけるピーク解釈に有用な積分を構築すること。
• 時間のない枠組みにおいて、時間の問題への応用の基盤を築くこと、特に量子クチャール・ベーブルスおよびマーチアン半古典的アプローチを含む。

提案手法

• 標準的なCP²量子化とは異なり、絶対的意味合いを伴うものとは異なる、純粋に関係的運動論的量子化を、縮約された配置空間CP²およびその円錐C(CP²)上で採用する。
• 自由ケースの時間に依存しないシュレーディンガー方程式（TISE）を分離するため、ギブンス＝ポール型座標を用いる。
• 共形順序TISEを構築し、特殊関数（ジャコビ多項式、ウィグナーD関数、関連ラゲール多項式）を用いて解く。
• CP²上の固有値問題を用いてエネルギー準位と簡約度を導出する。D(k, N) = N{N + 2k}{(N + k −1)!/N!k!}²。
• 自由およびHOの波動関数から積分を構築し、摂動論およびピーク解析を可能にする。原子物理学におけるストark効果と類似の手法を一般化する。
• 結果を、半古典的アプローチ、マーチアン解釈、時間のない単純シュレーディンガー解釈を用いた時間の問題への応用に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対的意味合いを含まない運動論的量子化において、四辺形に対して完全に関係的な量子理論を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 四辺形のCP²配置空間上での自由および等方的調和振動子の正確な解は何か？
• RQ3 四辺形の量子数、波動関数、エネルギー準位は、三角形および4ストップ・メトロランドのそれらとどのように比較できるか？
• RQ4 波動関数から有用な積分を構築し、量子宇宙論における摂動論およびピーク解釈を可能にすることができるか？
• RQ5 結果は、量子クチャール・ベーブルスおよびマーチアン半古典的アプローチを含む、時間の問題への応用にどのように拡張されるか？

主な発見

• 本稿は、運動論的量子化の段階で、絶対的運動と相対的運動の根本的区別を特定し、以前に認識されていなかった画期的な知見を提供する。
• CP²上での自由ケースのエネルギー準位はE(k, N) = 4k{N + k}であり、N = 4のとき簡約度D(k, N) = N{N + 2k}{(N + k −1)!/N!k!}²である。
• 基底状態および最初の励起状態が明示的に計算され、周期表およびゲルマンの八重項方式に類似した構造を示している。
• 共形順序を用いたCP²上での等方的調和振動子は、径方向量子数rに対して離散的エネルギーE = {|m| + 2r + 1}ℏωをもたらす。
• 自由およびHOの波動関数から有用な積分が構築され、ストark効果に用いられる原子物理学的手法を一般化している。
• 結果は、量子宇宙論におけるピーク解釈を支持し、マーチアン半古典的アプローチおよび四辺形ケースにおける時間のない解釈の基盤を提供する。