[論文レビュー] Relational Semantics for the Turing Schmerl Calculus

Eduardo Hermo Reyes, Joost J. Joosten|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、証明理論における反復整合性文の関係を形式化するためのモーダル論理であるチューリング・シュメール計算（TSC）の関係的意味論を導入する。イgnatievのGLPの普遍的モデルを変更することで、著者たちはTSCの普遍的フレームとして機能するモデル $\mathcal{J}$ を構成し、標準的モデルの構成と単項正規形における非導出の新しい特徴付けを用いて、TSCの完全性を証明する。

ABSTRACT

In arXiv:1604.08705 the authors introduced the propositional modal logic $ extbf{TSC}$ (which stands for Turing Schmerl Calculus) which adequately describes the provable interrelations between different kinds of Turing progressions. The current paper defines a model $\mathcal{J}$ which is proven to be a universal model for $ extbf{TSC}$. The model $\mathcal{J}$ is a slight modification of the intensively studied $\mathcal{I}$ : Ignatiev's universal model for the closed fragment of Gödel Löb's polymodal provability logic $ extbf{GLP}$.

研究の動機と目的

• チューリング進捗の異なる種類の間の関係を捉える論理であるチューリング・シュメール計算（TSC）の関係的意味論を提供すること。
• GLPの閉じた部分論理のためのイgnatievの普遍的フレームを変更することで、TSCの普遍的モデルを確立すること。
• 提案された関係的意味論に関してTSCの完全性を証明すること。
• 順序数パラメータと超指数関数を用いて、単項正規形における非導出を特徴付けること。
• 還元と共加法的公理を用いて、モダリティ的証明システム内でシュメールの細密構造定理を形式化すること。

提案手法

• 著者たちは、TSCの標準的モデルとして機能する、イgnatievの普遍的モデルの修正版 $\mathcal{J}$ を定義する。
• 論理式の正規形として単項正規形（MNF）を導入し、特定の指数制約を持つ論理式のみを扱うことを保証する。
• TSCは、単調性、共加法性、還元、シュメールの式の公理に加え、標準的な論理的規則を含む公理系で形式化される。
• モデル $\mathcal{J}$ 上に強制関係 $\Vdash$ が定義され、$x \Vdash \varphi$ は、$I$、すなわち無限個の順序数の列の集合における成分ごとの比較によって解釈される。
• 主な技術的道具は、超指数関数 $e^n(\alpha)$ の使用であり、これは順序数の累乗を一般化し、論理の演算に対して閉じていることを保証する。
• 完全性は対偶による証明である：もし $\varphi \not\vdash \psi$ ならば、モデル内に $x_\varphi \Vdash \varphi$ だが $x_\varphi \not\Vdash \psi$ を満たす点 $x_\varphi$ が存在する。これにより $\varphi \not\models \psi$ が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チューリング進捗の間のすべての有効な関係を捉えることができる、チューリング・シュメール計算（TSC）のための関係的意味論を構築できるか？
• RQ2 修正されたイgnatievモデル $\mathcal{J}$ はTSCの普遍的フレームとしてどのように機能するのか、また元の $\mathcal{I}$ とは何が構造的に異なるのか？
• RQ3 単項正規形と超指数関数は、TSCにおける導出可能性と非導出性の特徴付けにおいて、それぞれどのような役割を果たすのか？
• RQ4 TSCにおける還元とシュメールの公理は、シュメールの細密構造定理のような既知の証明理論的結果とどのように対応するのか？
• RQ5 TSCは提案された関係的意味論に関して完全であるか、そしてその完全性はどのように確立されるのか？

主な発見

• イgnatieブの普遍的モデル $\mathcal{I}$ のわずかな変更版であるモデル $\mathcal{J}$ は、TSCの普遍的モデルであることが証明され、TSCで導出可能なすべての論理式を正当化する。
• TSCは、形式的チューリング進捗（FTP）解釈に関して算術的に健全かつ完全であることが示された。
• 単項正規形における論理式間の非導出は、$\pi_{m_I}(\varphi) < \pi_{m_I}(\psi)$ を満たす基底 $m_I$ の存在によって特徴付けられる。ここで $\pi_m(\varphi)$ は基底 $m$ における順序数パラメータを表す。
• TSCの完全性は、標準的モデルの構成によって確立された：もし $\varphi \models \psi$ ならば、$\varphi \vdash \psi$ である。これは、$\varphi$ を満たすが $\psi$ を満たさない点 $x_\varphi$ を用いた背理法によって証明された。
• $\mathcal{J}$ 上の強制関係 $\Vdash$ は、成分ごとの比較と超指数関数 $e^n$ における閉包性を用いて定義され、モデル全体にわたるモダリティ的論理式の解釈の一貫性を保証する。
• モデル $\mathcal{J}$ は、すべての単項正規形の論理式がモダリティ的に定義可能であることを保証し、有限台付きの列がすべての定義可能な集合を捉えるのに十分である。非モダリティ的に定義可能な列、例えば定数 $\varepsilon_0$ の列は除外される。