[論文レビュー] Relational semantics of linear logic and higher-order model-checking

Charles Grellois, Paul-André Melliès|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、線形論理の関係的意味論が高階再帰的スキーム（HORS）と交互的木オートマトン（ATA）を自然に表現することを示し、それらの相互作用が生成された無限木の受理を決定することを明らかにすることで、線形論理と高階モデルチェックイングの間の新しい接点を確立する。主な貢献は、パリティゲームの優先度を捉えるパラメトリックな指数的モダリティを線形論理に導入し、小林・岡の型理論的アプローチの意味的基盤を提供するとともに、HORSにおけるモノディック第二階論理の決定可能性について、文法的またはオートマトン論的構成に依存しない完全に意味論的な証明を提示する。

ABSTRACT

In this article, we develop a new and somewhat unexpected connection between higher-order model-checking and linear logic. Our starting point is the observation that once embedded in the relational semantics of linear logic, the Church encoding of any higher-order recursion scheme (HORS) comes together with a dual Church encoding of an alternating tree automata (ATA) of the same signature. Moreover, the interaction between the relational interpretations of the HORS and of the ATA identifies the set of accepting states of the tree automaton against the infinite tree generated by the recursion scheme. We show how to extend this result to alternating parity automata (APT) by introducing a parametric version of the exponential modality of linear logic, capturing the formal properties of colors (or priorities) in higher-order model-checking. We show in particular how to reunderstand in this way the type-theoretic approach to higher-order model-checking developed by Kobayashi and Ong. We briefly explain in the end of the paper how his analysis driven by linear logic results in a new and purely semantic proof of decidability of the formulas of the monadic second-order logic for higher-order recursion schemes.

研究の動機と目的

• 高階再帰的スキーム（HORS）と交互的木オートマトン（ATA）の間の双対性を、線形論理の関係的意味論の枠組み内で確立すること。
• 高階モデルチェックイングにおける優先度の色をモデル化するパラメトリックな指数的モダリティを導入することで、この双対性を交互的パリティオートマトン（APT）へ拡張すること。
• 小林と岡が開発した高階モデルチェックイングの型理論的アプローチの意味的再構築を提供すること。
• 文法的またはオートマトン論的構成に依存しない、完全に意味論的かつ構成的であるMSOの決定可能性の証明を、高階再帰的スキームに対して提示すること。

提案手法

• HORSとATAを線形論理の関係的意味論に埋め込み、それらの相互作用がHORSによって生成される無限木の受理を検査すること。
• 交互的パリティオートマトンにおける色（優先度）の形式的性質を捉える、線形論理におけるパラメトリックな指数的モダリティを導入すること。
• 分配則とパラメトリックなコモノイドを用いて、型理論的枠組み内でのHORSとATAの相互作用をモデル化すること。
• 交差型とサブタイプを用いた素性代数的ラティス意味論に基づく、無限的関係的意味論の有限的変種を構築すること。
• コモノイドのクレースキカテゴリにおける不動点作用素を、交互的な最小/最大不動点式として定義する：$ Yf = \nu x_n.\mu x_{n-1}\dots\nu x_0.f(x_0,\dots,x_n) $、ここで $ n $ は偶数。
• この意味論的モデルを活用して、HORSにおけるMSOの決定可能性について、構成的かつ完全に意味論的な証明を導出する。これは、従来の文法的またはオートマトン論的証明を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形論理の関係的意味論は、高階再帰的スキームと交互的木オートマトンの両者を統合する枠組みとしてどのように機能するか？
• RQ2 高階モデルチェックイングにおける優先度（色）の使用の背後にある圏論的および論理的構造は何か。そして、それが線形論理内でどのように捉えられるか？
• RQ3 小林と岡による高階モデルチェックイングの型理論的アプローチは、線形論理からの意味論的原則を用いて再構築可能か？
• RQ4 文法的またはオートマトン論的構成に依存しない、高階再帰的スキームにおけるモノディック第二階論理の決定可能性の完全に意味論的な証明は存在するか？
• RQ5 線形論理におけるパラメトリックなコモノイドと分配則は、不動点作用素を備えた$\lambda Y$-計算の構成的モデルをどのように支援するか？

主な発見

• 線形論理の関係的意味論は、HORSとATAの間で自然な双対性を提供し、それらの解釈の相互作用が生成された無限木の受理を決定する。
• 線形論理にパラメトリックな指数的モダリティを導入することで、交互的パリティオートマトンの優先度構造を効果的にモデル化でき、標準的な指数的モダリティを一般化する。
• 意味論的枠組みは、小林と岡の型理論的アプローチを、線形論理における下位のコモノイド構造の結果として回復・再解釈する。
• 線形論理の有限的で素性代数的ラティス意味論が構築され、これによりHORSにおけるMSOの決定可能性の完全に意味論的な証明が可能になる。
• モデルにおける不動点作用素は、交互的な式 $ Yf = \nu x_n.\mu x_{n-1}\dots\nu x_0.f(x_0,\dots,x_n) $ として与えられ、これはコンウェイ作用素であることが示され、一貫性と構成性が保証される。
• 得られたモデルは、文法的またはオートマトン論的構成に代わる、圏論的および論理的原則に基づいた、構成的かつ意味論的な高階モデルチェックイングの記述を提供する。