[論文レビュー] Relations between dynamical degrees, Weil's Riemann hypothesis and the standard conjectures

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、代数閉体上の滑らかで射影的多様体の自己準同型に関して、l進コホロロジー上のプルバックのスペクトル半径（$\chi(f)$）がネロン＝セベリ群上のスペクトル半径（$\lambda(f)$）に等しいことを示した。これはデリーニのウェイユ・リーマン予想の証明を用いて $\chi(f) = \lambda(f)$ を証明し、エスヌールとスリニヴァスが提起した疑問を解決した。さらに、代数的エントロピー $\log \chi(f)$ が双有理不変量かつエタール不変量であることを示した。

ABSTRACT

Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field, $X$ a smooth projective variety over $\mathbb{K}$ and $f:X ightarrow X$ a dominant regular morphism. Let $N^i(X)$ be the group of algebraic cycles modulo numerical equivalence. Let $χ(f)$ be the spectral radius of the pullback $f^*:H^*(X,\mathbb{Q}_l) ightarrow H^*(X,\mathbb{Q}_l)$ on $l$-adic cohomology groups, and $λ(f)$ the spectral radius of the pullback $f^*:N^*(X) ightarrow N^*(X)$. We prove in this paper, by using consequences of Deligne's proof of Weil's Riemann hypothesis, that $χ(f)=λ(f)$. This answers affirmatively a question posed by Esnault and Srinivas. Consequently, the algebraic entropy $\log χ(f)$ of an endomorphism is both a birational invariant and étale invariant. More general results are proven if either $\mathbb{K}=\overline{\mathbb{F}_p}$ or the Fundamental Conjecture D (numerical equivalence vs homological equivalence) holds. Among other results in the paper, we show that if some properties of dynamical degrees, known in the case $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, hold in positive characteristics, then simple proofs of Weil's Riemann hypothesis follow.

研究の動機と目的

• 代数閉体上での自己準同型に関して、l進コホロロジー上のスペクトル半径（$\chi(f)$）が数的サイクル上のスペクトル半径（$\lambda(f)$）に等しいことを証明すること。
• エスヌールとスリニヴァスが提起した $\chi(f)$ と $\lambda(f)$ の等価性に関する疑問を解決すること。
• 代数的エントロピー $\log \chi(f)$ が双有理不変量かつエタール不変量であることを示すこと。
• 正標数における力学的次数の性質が、ウェイユのリーマン予想の証明に与える影響を検討すること。

提案手法

• デリーニによるウェイユ・リーマン予想の証明を基盤として、コホロロジー的および数的スペクトル半径を結びつける。
• 基本的予想D（数的同値＝ホモロジー同値）を適用し、特徴零の結果を正標数へ拡張する。
• 有限被覆 $\pi: X \to Y$ を介して、多様体 $X$ 上の力学系と射影空間 $Y$ 上の力学系を関連付ける対応構成 $f_n = (\pi \times \pi)^* \Gamma_{g_n}$ を用いる。
• ノルム推定と交線論を用いて、プルバックおよびプッシュフォワードを介して $\| (f^n)^* |_{H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)} \|$ と $\| g_n^* |_{H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)} \|$ を比較する。
• 分解 $H^*(X,\mathbb{Q}_l) = \pi^* H^*(Y,\mathbb{Q}_l) \oplus \ker(\pi_*)$ を用いて、基底空間からのコホロロジー的寄与を分離する。
• 射影空間 $\mathbb{P}^k$ のコホロロジーが代数的サイクルによって生成されることを用いて推定を簡略化し、不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\chi_i(f)$ は正標数においてすべての $i$ に対して有限か？
• RQ2 $\chi_{2i}(f) = \lambda_i(f)$ はすべての $i$ に対して成り立つか？
• RQ3 相対的力学的次数は正標数において積分公式を満たすか？
• RQ4 ディンの不等式 $\chi_i(f)^2 \leq \max_{p+q=i} \lambda_p(f)\lambda_q(f)$ は成り立つか？
• RQ5 $\chi_{2i}(f)$ は正標数において双有理不変量か？

主な発見

• l進コホロロジー上のスペクトル半径は数的サイクル上のスペクトル半径に等しい：$\chi(f) = \lambda(f)$。
• 代数的エントロピー $\log \chi(f)$ は双有理不変量かつエタール不変量である。
• $\chi_i(f)$ の有限性はウェイユ・リーマン予想と基本的予想Dから導かれる。
• 複素数体で知られている力学的次数の性質が正標数でも成り立つならば、ウェイユ・リーマン予想の簡単な証明が得られる。
• ノルムの推定において、$\|(f^n)^*|_{H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)}\| \geq \|g_n^*|_{H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)}\|$ が一様定数の誤差の範囲で成り立ち、成長率の比較が可能になる。
• X 上のコホロロジー的プルバックはY 上のプルバックを通じて因数分解され、$H^{2i}(X,\mathbb{Q}_l)$ 上のノルムは $H^{2i}(Y,\mathbb{Q}_l)$ 上のノルムの定数倍で下から抑えられる。