[論文レビュー] Relations Between partial Metric Spaces and M-Metric Spaces, Caristi Kirk's Theorem in $M-$Metric Type Spaces

Kamaleldin Abodayeh, Nabil Mlaiki+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 17被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、部分的距離空間とM-距離空間の関係を確立し、すべての部分的距離空間がM-距離空間であるが、逆は成り立たないことを証明している。先行研究の証明に欠陥があったのを是正し、具体的な例を用いて一般化されたCaristi-Kirkの不動点定理が完全なM-距離空間における下半連続関数の条件下で不動点の存在を示している。

ABSTRACT

Very recently, Mehadi et al [M. Asadi, E. Karapınar, and P. Salimi, New extension of partial metric spaces with some fixed-point results on $M-$metric spaces] extended the partial metric spaces to the notion of $M-$metric spaces. In this article, we study some relations between partial metric spaces and $M-$metric spaces. Also, we generalize Caristi Kirki's Theorem from partial metric spaces to $M-$metric spaces, where we corrected some gaps in the proof of the main Theorem in E. Karapınar [E. Karapınar, Generalizations of Caristi Kirk's Theorem on Partial Metric Spaces, Fixed Point Theory Appl. 2011: 4, (2011)]. We close our contribution by introducing some examples to validate and verify our extension results.

研究の動機と目的

• 部分的距離空間とM-距離空間の数学的関係を明確にし、すべての部分的距離空間がM-距離空間であるが、逆は成り立たないことを示す。
• Caristi-Kirkの不動点定理を部分的距離空間からM-距離空間へ拡張し、過去の証明における不正確さを是正する。
• 下半連続な実数値関数を用いて、完全なM-距離空間における自己写像が不動点を持つための条件を確立する。
• M-距離空間が部分的距離空間でない具体例を提示することで、理論的拡張の妥当性を検証する。
• M-距離が誘導する位相が離散的になり得ることを示し、そのような設定でも不動点定理が適用可能であることを示す。

提案手法

• 四つの公理（同一視の同一性、自己距離の最小値による下界、対称性、自己距離からの差分を含む修正された三角不等式）を用いてM-距離空間を定義する。
• 変換 $ d_p(x,y) = 2p(x,y) - p(x,x) - p(y,y) $ を用いて部分的距離と標準的距離の関係を定め、これをM-距離へ拡張する。
• 不動点条件の分析に用いる集合 $ S(z) = \{ x \in X : m(x,z) - m_{x,z} \leq \phi(z) - \phi(x) \} $ を導入する。
• 背理法を用いて、列 $ \{x_n\} $ が $ z $ に収束するならば、$ z $ は不等式条件を満たす唯一の点であることを示す。
• 本定理およびその推論が成り立つことを検証するため、部分的距離空間でないM-距離空間の具体例を2つ構成する。
• 例において、誘導される位相が離散的（開球が単集合）であることを確認し、すべての関数が下半連続であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M-距離空間は部分的距離空間をどのように一般化するのか。主な構造的差異は何か？
• RQ2 Caristi-Kirkの不動点定理は部分的距離空間からM-距離空間へ拡張可能か。もしそうなら、その方法は？
• RQ3 完全なM-距離空間において、自己写像が不動点を持つために必要な下半連続関数 $ \phi $ の条件は何か？
• RQ4 部分的距離空間でないM-距離空間は存在するか。それらは一般化されたCaristi-Kirk定理を満たすか？
• RQ5 特定のM-距離が誘導する離散的位相は、不動点定理の妥当性および適用可能性にどのように影響するか？

主な発見

• すべての部分的距離空間はM-距離空間であるが、逆は成り立たない。三角不等式が成立しない反例によってこれを示している。
• Karapınar（2011）が提示した部分的距離空間におけるCaristi-Kirk定理の証明に欠陥があったのを是正し、M-距離空間設定において論理的に整合した証明を保証した。
• 完全なM-距離空間において、任意の下半連続関数 $ \phi: X \to [0,\infty) $ に対して、すべての $ x \neq z $ に対して $ \phi(z) < \phi(x) + m(z,x) - m_{x,z} $ を満たす点 $ z \in X $ が存在する。これは不動点条件を一般化している。
• M-距離が誘導する位相は、$ B(x, \varepsilon) = \{x\} $（$ \varepsilon > 0 $ が十分小さいとき）となる例によって離散的になり得る。これはすべての実数値関数が下半連続であることを意味する。
• 構築した例において、自己写像 $ T $ を $ x \neq 4 $ に対して $ T(x) = 1 $、$ T(4) = 4 $ と定義すると、不等式 $ m(x,Tx) \leq \phi(x) - \phi(Tx) $ を満たし、不動点は $ x = 1 $ および $ x = 4 $ に存在する。これにより定理が確認された。
• M-距離空間における一般化されたCaristi-Kirk定理は、$ m = p $ のとき部分的距離空間における元の結果に還元され、構造間の整合性が確認された。