[論文レビュー] Relations between the convexity of a set and the differentiability of its support function

Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、集合のサポート関数の微分可能性とその集合の凸性の間の明確な関係を確立し、特に非有界集合に対して適用する。サポート関数が定義域の内部で微分可能であるならば、その集合は強凸であることを証明し、ミクロ経済学の基礎的結果、特にシーファードの補題と生産理論における費用関数の微分可能性について再考・是正する。

ABSTRACT

It is known that, in finite dimensions, the support function of a compact convex set with non empty interior is differentiable excepting the origin if and only if the set is strictly convex. In this paper we realize a thorough study of the relations between the differentiability of the support function on the interior of its domain and the convexity of the set, mainly for unbounded sets. Then we revisit some results related to the differentiability of the cost function associated to a production function.

研究の動機と目的

• サポート関数の微分可能性とその背後にある集合の凸性の関係を明確にし、特に非有界集合に対して考察する。
• 凸解析およびサポート関数を用いて、古典的なミクロ経済学的結果（特にシーファードの補題）を是正・再表現する。
• サポート関数の微分可能性が集合の凸性を示すために必要なおよび十分な条件を特定する。
• 条件(H)を満たす集合Aに対して関連する関数$ F_A $の役割を分析し、その性質がAの幾何的性質とどのように関連するかを検討する。
• 凸双対性およびサポート関数理論を用いて、シーファードの補題の新しい厳密な証明を提示する。

提案手法

• 凸性および微分可能性を分析する中心的道具として、サポート関数$ \sigma_A(x^*) = \sup_{u \in A} \langle x^*, u \rangle $を用いる。
• 凸解析の道具を適用：再発錐、共役関数、部分微分、および再発関数$ f_\infty $。
• 条件(H)を満たす集合Aに対して関連する関数$ F_A $を導入し、その擬凸性およびAの幾何的性質との関係を分析する。
• サポート関数$ \sigma_A $が定義域の内部で微分可能であることと、集合Aが強凸であることの同値性を適用し、非有界集合に対しても成立することを示す。
• 費用関数$ g(x) = \inf \{ \langle x, a \rangle \mid a \in A \} $を$ -\sigma_A(-x) $として再解釈し、サポート関数と直接的に結びつける。
• サポート関数$ \sigma_A $と共役関数$ f^* $の双対性を用い、[16]における微分可能性および凸性に関する結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合$ A \subset \mathbb{R}^p $に対して、サポート関数$ \sigma_A $がその定義域の内部で微分可能となる条件は何か？
• RQ2 サポート関数$ \sigma_A $が$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $で微分可能であるならば、$ A $は凸であると結論づけられるか？特に$ A $が非有界である場合にも成立するか？
• RQ3 生産関数の厳密擬凸性または擬凹性といった生産理論における標準的仮定は、関連費用関数の微分可能性とどのように関係するか？
• RQ4 条件(H)を満たす集合Aに対して定義される関数$ F_A $は、集合Aの凸性および微分可能性の性質を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 シーファードの補題における費用関数の微分可能性の古典的十分条件は、必要かつ十分であるか？

主な発見

• サポート関数$ \sigma_A $が$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $で微分可能であることと、集合$ A $が強凸であることとは同値であり、$ A $が非有界であっても成立する。
• $ \sigma_A $が$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $で微分可能であるならば、$ A $は凸であることが保証され、非有界集合に対しても成り立つ。
• 条件(H)を満たす集合$ A $に対して定義される関数$ F_A $は、擬凸かつ連続であるが、$ \sigma_A $が微分可能であっても、必ずしも厳密擬凸ではない。
• 例5は、生産関数$ F_A $が厳密擬凸でない場合でも、費用関数が$ -\mathbb{R}_{++}^p $上で微分可能である例を示しており、一部の古典的結果と矛盾する。
• 本稿は、[6, Thm. 2]の「もし」部分および[11, 同値定理]を是正し、費用関数の微分可能性が生産関数の厳密擬凸性を示さないことを示している。
• 凸双対性を用い、部分微分および共役関数の枠組みを用いて、シーファードの補題の新しい証明を確立した。