[論文レビュー] Relations in the Cremona group over perfect fields

Julia Schneider|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高次元のクレモナ群に対して Blanc, Lamy, および Zimmermann が採用した戦略を、$[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ である完全体上の平面クレモナ群に適応することで、新たな正規部分群を構成する。Sarkisov リンクとガロア不変な点の配置を用いて、$\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ から無限個の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の直和への全射群準同型を確立し、この設定におけるクレモナ群の単純性と完全性の欠如を証明する。

ABSTRACT

For perfect fields $k$ satisfying $[\bar k:k]>2$, we construct new normal subgroups of the plane Cremona group and provide an elementary proof of its non-simplicity, following the melody of the recent proof by Blanc, Lamy and Zimmermann that the Cremona group of rank $n$ over (subfields of) the complex numbers is not simple for $n\geq3$.

研究の動機と目的

• 高次元クレモナ群における非単純性の最近の証明を、代数閉でない完全体上の平面クレモナ群に拡張すること。
• ガロア作用における幾何的不変量を用いて、$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$ の明示的な正規部分群を構成すること。
• 古典的代数幾何学とSarkisov リンク分解にのみ依存する、非単純性の初等的証明を提供すること。
• 全射準同型 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2) \to$ 無限個の $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の直和を確立し、群が完全でないことを示すこと。

提案手法

• Mori ファイバー空間間の有理写像の群ガロア $\operatorname{BirMori}(X)$ において、タイプ I～IV のSarkisov リンクを生成子として用いる。
• ガロア深さ（写像またはその逆写像の基底分岐に現れるガロア軌道の最大サイズ）によってリンクを分類する。
• 平面 $\mathbb{P}^2$ 内のサイズ 4 または 2 のガロア軌道から、$K_X^2 = 5$ または $6$ である Mori の円錐被覆 $X \to \mathbb{P}^1$ を構成する。
• $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$-作用とガロア降下による不変量を用いて、このような円錐被覆の同値類を同定する。
• 高いガロア深さ（例：$2n+1 \geq 17$）を持つタイプ II のリンクを用いて、目標群における独立な $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 因子を生成する。
• 異なる円錐被覆の同値類に付随する添え字の射影により、$\bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ への準同型を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Blanc, Lamy, および Zimmermann が高次元クレモナ群に用いた戦略を、閉でない体上の平面クレモナ群に適応できるか。
• RQ2 点および曲線のガロア軌道は、$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$ の正規部分群の構成において果たす役割は何か。
• RQ3 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ のとき、クレモナ群の構造はどのように変化するか。
• RQ4 無限個の独立した $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-値不変量が $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ 上に存在するか。
• RQ5 完全体で $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ であるとき、$\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$ のアーベル化の濃度は何か。

主な発見

• 任意の完全体 $\mathbf{k}$ に対して $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$ ならば、全射群準同型 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2) \twoheadrightarrow \bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が存在し、$I$ は無限集合である。
• この準同型の核には $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$、つまり $\mathbb{P}^2$ の自己同型群が含まれる。
• 準同型を群 $\{(x,y) \mapsto (xp(y),y) \mid p \in \mathbf{k}(y) \setminus \{0\}\}$ に制限したとき、その制限は全射である。
• $K_X^2 = 5$ である Mori の円錐被覆の同値類の数は、$\mathbf{k}[x]$ 内の奇数次数の既約多項式の数 $\mathcal{N}_4$ 以上である。
• 同様に、$K_X^2 = 6$ である Mori の円錐被覆の同値類の数は、$\mathbf{k}[x]$ 内の既約二次多項式の数 $\mathcal{N}_2$ 以上である。
• $\mathbb{Q}$ 上では、$\mathcal{N}_2$ および $\mathcal{N}_4$ はともに無限大であり、これは添え字集合 $I$ が無限大であり、目標群が非可算であることを示唆する。