[論文レビュー] Relations on $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ and the negative $r$-spin Witten conjecture

Nitin Kumar Chidambaram, Elba Garcia‐Failde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2022

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ねじれスピン曲線の反カノニカルバンドルの $r$ 乗根の導来押し出しを用いて、Witten の $r$-スピン類の負のスピン版、すなわち $Θ^r$ と呼ばれる $Θ$ 類を導入する。平坦な単位を持たず、非半単純であるにもかかわらず、著者たちはTelemanの再構成定理を用いて半単純変形を構成し、$Θ^r$ の下降的生成関数が $Ω$-代数的制約を満たし、$r$-KdV階層の $r$-BGW タウ関数と一致することを証明した。$r=2$ および $r=3$ に対して検証された結果は、ノーバリーの予想を裏付け、Witten-Kontsevichの枠組みを負のスピン構造へと拡張した。

ABSTRACT

We construct and study various properties of a negative spin version of the Witten $ r $-spin class. By taking the top Chern class of a certain vector bundle on the moduli space of twisted spin curves that parametrises $ r $-th roots of the anticanonical bundle, we construct a non-semisimple cohomological field theory (CohFT) that we call the Theta class $ Θ^r $. This CohFT does not have a flat unit and its associated Dubrovin--Frobenius manifold is nowhere semisimple. Despite this, we construct a semisimple deformation of the Theta class, and using the Teleman reconstruction theorem, we obtain tautological relations on $ \overline{\mathcal{M}}_{g,n} $. We further consider the descendant potential of the Theta class and prove that it is the unique solution to a set of $ \mathcal{W} $-algebra constraints, which implies a recursive formula for the descendant integrals. Using this result for $ r = 2 $, we prove Norbury's conjecture which states that the descendant potential of $ Θ^2 $ coincides with the Brézin--Gross--Witten tau function of the KdV hierarchy. Furthermore, we conjecture that the descendant potential of $ Θ^r $ is the $ r $-BGW tau function of the $ r $-KdV hierarchy and prove the conjecture for $ r = 3 $.

研究の動機と目的

• $̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の負の $r$-スピン構造に対して、コhomological field theory (CohFT) を構成すること。これは、Witten の $r$-スピン類を反カノニカルバンドルの $r$ 乗根へ一般化するものである。
• 得られた $Θ^r$ 類の幾何学的およびコhomological的性質を分析すること。特に、半単純でなく、平坦な単位を持たないという点に注目する。
• ギベントゥル–トレマン再構成を用いて、$Θ^r$ の半単純変形を確立し、$̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のタウトロジカル関係を導出可能にする。
• $Θ^r$ の下降的生成関数が $Ω$-代数的制約を満たすことを証明し、これによりすべての下降的積分に対する再帰的公式が得られることを示すこと。
• $Θ^r$ の下降的生成関数が $r$-KdV階層の $r$-BGW タウ関数と一致することを検証し、$r=2$ に対しては予想を確認し、$r=3$ に対しては証明すること。

提案手法

• モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g;a}^{r,-1}$ 上の普遍的な $r$ 乗根の導来押し出しにより得られるベクトルバンドルの最高チエーン類として、$\Theta^r$ を定義する。
• CohFT公理を満たすために、$v_0$ を除く $V = \mathbb{Q}\langle v_1, \dots, v_{r-1}\rangle$ のベクトル空間上にCohFT構造を定義する。
• 平行移動と $R$-行列作用を用いて、$Θ^r$ の半単純変形を導入し、トレーマン再構成定理の適用を可能にする。
• トレーマン再構成定理を用いて、変形済みCohFTから $̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のタウトロジカル関係を導出する。
• $\mathcal{W}^{-r+1}(\mathfrak{gl}_r)$-代数的制約を満たすことを示すことにより、$Θ^r$ の下降的生成関数を $r$-BGW タウ関数と同定する。
• Kac–Schwarz作用素と $\mathfrak{W}_{1+\infty}$ 対称性を用いて、$r$-BGW タウ関数と下降的生成関数 $Z^{\Theta^r}$ の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のスピン版のWitten $r$-スピン類は、$̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上でwell-definedなCohFTとして存在するか？そのコhomologicalな性質は何か？
• RQ2 非半単純な $Θ^r$ 類に対して半単純変形を構成可能か？また、その変形により $̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上のタウトロジカル関係が得られるか？
• RQ3 $Θ^r$ の下降的生成関数は $Ω$-代数的制約の唯一の解であるか？そして、これはすべての下降的積分に対する再帰的公式を示唆するか？
• RQ4 $Θ^r$ の下降的生成関数は、$r=2$ の場合にノーバリーが予想した $r$-KdV階層の $r$-BGW タウ関数と一致するか？
• RQ5 $r=3$ の場合に、$r$-BGW タウ関数は下降的生成関数 $Z^{\Theta^r}$ と等価であるか？そして、これはWitten-Kontsevich理論の可積分構造を負のスピンへ拡張するか？

主な発見

• $\Theta^r$ は、反カノニカルバンドルの $r$ 乗根から得られるベクトルバンドルの最高チエーン類として、$̄{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上の非半単純CohFTとして構成された。
• 平坦な単位がなく、至る所で半単純でないにもかかわらず、$\Theta^r$ は半単純変形を許容し、トレーマン再構成定理の適用によりタウトロジカル関係を導出可能となった。
• $\Theta^r$ の下降的生成関数は $\mathcal{W}$-代数的制約を満たし、これにより一意に定まり、すべての下降的積分に対する再帰的公式が得られた。
• $r=2$ の場合、$\Theta^2$ の下降的生成関数がKdV階層のBrézin–Gross–Wittenタウ関数と一致することが証明され、ノーバリーの予想が裏付けられた。
• $r=3$ の場合、本稿では $\Theta^3$ の下降的生成関数が $r$-KdV階層の $r$-BGW タウ関数と一致することを証明し、可積分構造の枠組みを負のスピン構造へ拡張した。
• 一般に、$P_m(r,-1)$ と $P_i(r,a)$ の係数の関係を確立し、既知のエアリー関数およびスコーラー関数の漸近挙動をより高い $r$ へ一般化した。