[論文レビュー] Relationship between Random Periodic Paths, Periodic Measures, and Invariant Measures

Chunrong Feng, Yong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、確率的力学系における確率的周期的経路と周期的測度の同値性を確立し、PS-エルゴード性およびスペクトル条件の下で周期的測度がエルゴード的であることを証明する。また、正の最小周期と虚軸上に等間隔に配置された単純固有値をもつ周期的測度が、スペクトルギャップ条件の下でPS-混合的であることを示し、確率的ODEの摂動を通じて新たなエルゴード的確率過程のクラスを導入する。

ABSTRACT

Ergodicity of random dynamical systems with a periodic measure is obtained on a Polish space. In the Markovian case, the idea of Poincare sections is introduced. It is proved that if the periodic measure is PS-ergodic, then it is ergodic. Moreover, if the infinitesimal generator of the Markov semigroup only has equally placed simple eigenvalues including $0$ on the imaginary axis, then the periodic measure is PS-ergodic and has positive minimum period. Conversely if the periodic measure with the positive minimum period is PS-mixing, then the infinitesimal generator only has equally placed simple eigenvalues (infinitely many) including $0$ on the imaginary axis. Moreover, under the spectral gap condition, PS-mixing of the periodic measure is proved. The ``equivalence of random periodic processes and periodic measures is established. This is a new class of ergodic random processes. Random periodic paths of stochastic perturbation of the periodic motion of an ODE is obtained.

研究の動機と目的

• 確率的力学系における確率的周期的過程と周期的測度の同値性を確立すること。
• マルコフ型確率的力学系の文脈において、周期的測度のエルゴード性および混合性の性質を調査すること。
• 周期的測度がPS-エルゴード的またはPS-混合的であるためのスペクトル的条件を特定すること。
• 周期的測度をもつ確率的力学系へのポアンカレ截面の概念を拡張すること。

提案手法

• 周期的測度をもつ確率的力学系に適応したポアンカレ截面の概念を導入する。
• マーモフ半群の無限小生成作用素のスペクトル解析を用いて、虚軸上への固有値分布を検討する。
• スペクトルギャップ条件を用いて、周期的測度のPS-混合性を証明する。
• 測度論的および経路的解析を通じて、確率的周期的経路と周期的測度の同値性を確立する。
• PS-エルゴード性およびPS-混合性の条件の下での周期的測度の構造を分析する。
• 結果を周期的ODEの確率的摂動に適用し、確率的周期的経路を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的測度が確率的力学系においていつエルゴード的となるか。
• RQ2 無限小生成作用素のスペクトル的性質は、周期的測度のエルゴード性および混合性とどのように関係するか。
• RQ3 マルコフ型設定における確率的周期的経路と周期的測度の関係は何か。
• RQ4 正の最小周期をもつ周期的測度がいつPS-混合的行動を示すか。
• RQ5 どのようなスペクトル的配置が、周期的測度がPS-エルゴード的であり、かつ正の最小周期をもつことを保証するか。

主な発見

• 周期的測度がPS-エルゴード的であれば、それは標準的意味でのエルゴード的である。
• 無限小生成作用素が虚軸上に0を含む等間隔の単純固有値のみをもつ場合、周期的測度はPS-エルゴード的であり、正の最小周期をもつ。
• 逆に、正の最小周期をもつ周期的測度がPS-混合的であれば、無限小生成作用素は虚軸上に0を含む無限個の等間隔の単純固有値のみをもつ。
• スペクトルギャップ条件の下で、周期的測度がPS-混合的であることが証明された。
• 確率的周期的過程と周期的測度の同値性が厳密に確立された。
• 確率的周期的経路は、ODEの周期的解に対する確率的摂動として得られ、新たなエルゴード的確率過程のクラスの存在が確認された。