[論文レビュー] Relationship Between the Hosoya Polynomial and the Edge-Hosoya Polynomial of Trees

Niko Tratnik, Petra Žigert Pleteršek|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、木におけるホイザ多項式とエッジ・ホイザ多項式の間の直接的な代数的関係を確立し、$ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $ を証明する。これにより、古典的ウィーナーおよびハイパーウィーナー指数を用いて、木のエッジ・ウィーナーおよびエッジ・ハイパーウィーナー指数を正確に計算可能となり、正則デンドリマーの閉形式の式が得られる。

ABSTRACT

We prove the relationship between the Hosoya polynomial and the edge-Hosoya polynomial of trees. The connection between the edge-hyper-Wiener index and the edge-Hosoya polynomial is established. With these results we also prove formulas for the computation of the edge-Wiener index and the edge-hyper-Wiener index of trees using the Wiener index and the hyper-Wiener index. Moreover, the closed formulas are derived for a family of chemical trees called regular dendrimers.

研究の動機と目的

• 木における頂点ベースのホイザ多項式とエッジベースのエッジ・ホイザ多項式の間の明確な数学的関係を確立すること。
• 古典的ウィーナーおよびハイパーウィーナー指数を用いて、木のエッジ・ウィーナー指数およびエッジ・ハイパーウィーナー指数を計算するための公式を導出すること。
• 正則デンドリマーのエッジ・ホイザ多項式、エッジ・ウィーナー指数、エッジ・ハイパーウィーナー指数の閉形式表現を提供すること。
• 木構造における頂点ペアからエッジペアへの距離の一般化により、既存の距離に基づくトポロジカル指数の結果を拡張すること。

提案手法

• エッジ・ホイザ多項式 $ H_e(G,x) $ を線グラフ $ L(G) $ のホイザ多項式として定義し、$ H_e(G,x) = H(L(G),x) $ を確立する。
• 木において距離 $ k $ の頂点ペアと距離 $ k-1 $ のエッジペアの間の全単射写像 $ F: V_k \to E_{k-1} $ を構築し、$ k \geq 1 $ に対して $ d(T,k) = d_e(T,k-1) $ を証明する。
• 基本的恒等式 $ H(T,x) = xH_e(T,x) + |V(T)| $ を導出し、これにより $ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $ を得る。
• エッジ・ホイザ多項式の微分を用いて、エッジ・ウィーナー指数を $ W_e(T) = H_e'(T,1) $ と、エッジ・ハイパーウィーナー指数を $ WW_e(T) = H_e'(T,1) + \frac{1}{2}H_e''(T,1) $ として表現する。
• 導出された公式を正則デンドリマー $ T_{k,d} $ に適用し、既知のウィーナー多項式の結果を用いてエッジ・ホイザ多項式およびその微分を計算する。
• 一貫性を確認するため、古典的指数を用いてエッジ指数を表現する：$ W_e(T) = W(T) - \binom{|V(T)|}{2} $ および $ WW_e(T) = WW(T) - W(T) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木におけるホイザ多項式とエッジ・ホイザ多項式の正確な代数的関係は何か？
• RQ2 木のエッジ・ウィーナーおよびエッジ・ハイパーウィーナー指数は、古典的ウィーナーおよびハイパーウィーナー指数から直接計算可能か？
• RQ3 正則デンドリマーのエッジ・ホイザ多項式、エッジ・ウィーナー指数、エッジ・ハイパーウィーナー指数の閉形式表現は何か？
• RQ4 特定の距離における頂点ペアとエッジペアの全単射対応は、主恒等式の導出をどのように可能にするか？

主な発見

• 木 $ T $ のエッジ・ホイザ多項式は $ H_e(T,x) = \frac{1}{x}H(T,x) - \frac{|V(T)|}{x} $ を満たし、頂点ベースの距離数え上げからエッジベースの距離数え上げへの直接的変換を提供する。
• 木のエッジ・ウィーナー指数は $ W_e(T) = W(T) - \binom{|V(T)|}{2} $ で与えられ、これは古典的ウィーナー指数から頂点ペアの数を引いたものであることを示している。
• 木のエッジ・ハイパーウィーナー指数は $ WW_e(T) = WW(T) - W(T) $ を満たし、古典的ハイパーウィーナーおよびウィーナー指数と直接的に関連している。
• 正則デンドリマー $ T_{k,d} $ に対して、エッジ・ホイザ多項式は偶数次および奇数次の $ x $ のべきの和として明示的に導出され、係数には $ (d-1)^i $、$ d $、および $ \binom{d}{2} $ が含まれる。
• 正則デンドリマー $ T_{k,d} $ のエッジ・ウィーナー指数は $ W_e(T_{k,d}) = \frac{d\left(2-2d+(d-1)^k(d^2+4d-4)+(d-1)^{2k}(2-d(d+2)+2(d-2)dk)\right)}{2(d-2)^3} $ として計算される。
• 正則デンドリマー $ T_{k,d} $ のエッジ・ハイパーウィーナー指数は、$ d $、$ k $、および $ (d-1)^k $、$ (d-1)^{2k} $ を含む複雑な有理式として与えられ、導出された公式が実際の化学構造に適用可能であることを確認している。