[論文レビュー] Relative Algebraic Differential Characters

Spencer Bloch, Hélène Esnault|ArXiv.org|Dec 2, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴量がゼロの滑らかな準同型に関して、相対的微分特性類のコホモロジー理論を導入し、繰り返しアティヤ類のトレースの部分的消滅を解釈するための標準的枠組みを提供する。曲線の族における $f_*c_2(E)$ の押し出しに、標準的な接続を構成し、ベイリソンの解析的構成と一致させ、ベイリソンのトレース複体とも関連付ける。

ABSTRACT

Let $f: X o S$ be a smooth morphism in characteristic 0, and let $(E, abla_{X/S})$ be a relative regular connection. We define a cohomology of relative differential characters on $X$ which receives classes of $(E, abla_{X/S})$. It says in particular that the partial vanishing of the trace of the iterated Atiyah classs can be made canonical. While applied to a family of curves and $c_2$, the construction yields a connection of $f_*c_2(E)$. This one has been constructed analytically by A. Beilinson. We also relate our construction to the trace complex of Beilinson of Schechtman.

研究の動機と目的

• 特徴量がゼロの滑らかな準同型 $f: X o S$ に対して、相対的微分特性類のコホモロジー理論を定義すること。
• 繰り返しアティヤ類のトレースの部分的消滅を、相対的代数的設定で標準的に解釈すること。
• 曲線の族における相対的正則接続 $(E, abla_{X/S})$ の場合に、押し出し $f_*c_2(E)$ に標準的な接続を構成すること。
• 構成をベイリソンのトレース複体およびシェフツマンの研究と関連付けること。
• ベイリソンの解析的構成による $f_*c_2(E)$ 上の接続の代数的幾何的類似物を確立すること。

提案手法

• 滑らかな準同型上の相対的正則接続 $(E, abla_{X/S})$ の類を分類する相対的微分特性類のコホモロジー理論を定義すること。
• アティヤ類およびその反復を用いて、相対的設定における曲率およびトレースデータを分析すること。
• 相対的微分特性類コホモロジーを介して、$f_*c_2(E)$ に標準的な接続を構成すること。
• 代数的および解析的構造を比較することで、ベイリソンの解析的構成と整合性を持つことを確立すること。
• 代数的幾何的道具を用いて、構成をベイリソンおよびシェフツマンのトレース複体と関連付けること。
• 滑らかさおよび微分作用素と接続の有効性を保証するため、特徴量ゼロで作業すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しアティヤ類のトレースの部分的消滅を、相対的代数的設定でどのように標準化できるか？
• RQ2 相対的正則接続を持つ曲線の族に対して、$f_*c_2(E)$ に標準的な接続を構成できるか？
• RQ3 相対的微分特性類コホモロジーとベイリソンのトレース複体の関係は何か？
• RQ4 $f_*c_2(E)$ 上の代数的構成とベイリソンの解析的構成との比較は？
• RQ5 相対的正則接続 $(E, abla_{X/S})$ は、相対的設定における特性類を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、特徴量ゼロの滑らかな準同型上で、相対的正則接続 $(E, abla_{X/S})$ の類を分類する標準的コホモロジー理論を構成する。
• 相対的微分特性類コホモロジーを通じて、繰り返しアティヤ類のトレースの部分的消滅が標準化される。
• 曲線の族に対して、$f_*c_2(E)$ に標準的な接続が構成され、ベイリソンの解析的構成と一致する。
• 構成がベイリソンのトレース複体およびシェフツマンの研究と整合することが示される。
• 相対的微分特性類コホモロジーは、$f_*c_2(E)$ 上の解析的接続の代数的幾何的実現を提供する。
• この枠組みにより、相対的代数幾何における代数的微分特性類と高次特性類の間の橋渡しがなされる。