[論文レビュー] Relative and orbifold Gromov-Witten invariants

Dan Abramovich, Charles Cadman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかな除集合 D 沿いの r-乗根スタック Xr におけるオルビフォールド Gromov-Witten 不変量と、対 (X, D) の相対的 Gromov-Witten 不変量の間の正確な対応関係を確立する。Genus 0 および十分に大きな可除 r に対して、両者の不変量は正確に一致し、これはオルビフォールド不変量が、数え上げ的でない場合でも相対不変量に安定化することを示している。証明は、変形理論、仮想基本クラス、および Costello の定理による局所完全交差の観点からの障害理論の比較を用いる。

ABSTRACT

We prove that genus zero Gromov--Witten invariants of a smooth scheme relative to a smooth divisor coincide with genus zero orbifold Gromov--Witten invariants of an appropriate root stack construction along the divisor.

研究の動機と目的

• オルビフォールド Gromov-Witten 不変量が根スタックのものとして (X, D) の相対不変量に安定化するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• Genus 0 における相対的およびオルビフォールド Gromov-Witten 理論の厳密な比較を提供すること。
• 数え上げ的でない場合でも、オルビフォールド不変量と相対不変量が同じ数をもたらす条件を明確にすること。
• 相対的写像とオルビフォールド写像という2つの異なる幾何的構成を比較することで、Gromov-Witten 不変量の数え上げ的でない領域への理解を拡張すること。
• 高(genus)の不変量が安定化しないことの証明により、genus 0 の一致が特殊現象であることを示すこと。

提案手法

• 対 (X, D) への相対的安定写像のモジュライ空間と、r-乗根スタック Xr へのオルビフォールド安定写像のモジュライ空間を構成する。
• Li および Behrend–Fantechi の仮想基本クラス形式を用いて、両設定において不変量を定義する。
• モジュライスタックのカルテジアン図式を用いて、Costello の定理を仮想基本クラスを通じて適用し、障害理論を比較する。
• Behrend–Fantechi の形式を用いて、相対的およびオルビフォールドモジュライ空間の障害理論を解析し、障害群の同型を示す。
• 完全に非退化な対象の稠密な開部分スタックに制限することで、比較を局所的完全交差の設定に還元する。
• 直線束とその切断、および展開の普遍的ケースを用いて、比較のための基本を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r → ∞ のとき、r-乗根スタック Xr のオルビフォールド Gromov-Witten 不変量は、対 (X, D) の相対不変量に安定化するか？
• RQ2 数え上げ的でない場合でも、オルビフォールド不変量と相対不変量が一致する条件は何か？
• RQ3 なぜ genus 0 の一致は高(genus)では成立しないのか？
• RQ4 スタックのカルテジアン図式を用いて、相対的およびオルビフォールドモジュライ空間の障害理論を比較できるか？
• RQ5 同じ組合せ的データのもとで、相対モジュライ空間の仮想基本クラスはオルビフォールドモジュライ空間のそれと同型か？

主な発見

• Genus 0 および十分に大きな可除 r に対して、(X, D) の相対的 Gromov-Witten 不変量と Xr のオルビフォールド不変量は正確に一致する。
• 両者が数え上げ的でない場合でも不変量が一致することは、数的偶然をはるかに超えた構造的同型を示している。
• 証明は、相対的およびオルビフォールドモジュライ空間の障害理論がカルテジアン図式によるスタックの間の同型であることを示すことに依存する。
• 比較は genus 0 のみに有効である。高(genus)のオルビフォールド不変量は安定化せず、したがって相対不変量と一致しない。
• 主な技術的ステップは、安定写像のモジュライスタック間の被約的で、Deligne–Mumford 型の準同型に Costello の定理を適用することである。
• 同じ組合せ的データのもとで、相対的およびオルビフォールドモジュライ空間の仮想基本クラスは同型であり、不変量の不変性を確認する。