[論文レビュー] Relative Bogomolov's inequality

Atsushi Moriwaki|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、特徴値がゼロの体上の滑らかな代数的多様体上のベクトル束に対して、相対次元1の射 f: X → Y に関する相対ボゴモロフ不等式を確立する。もしファイバー X_y と束 E の制限 E_y が点 y で半安定であるならば、そのチェーン類の特定の組み合わせが弱正であることが示され、これは安定曲線のモジュライ空間上の弱正 Q-カルティエ除数の完全な特徴付けに繋がる。

ABSTRACT

Let f : X --> Y be a projective morphism of smooth algebraic varieties over an algebraically closed field of characteristic zero with dim f = 1. Let E be a vector bundle of rank r on X. In this paper, we would like to show that if X_y is smooth and E_y is semistable for some point y of Y, then f_* (2r c_2(E) - (r-1) c_1(E)^2) is weakly positive at y. We apply this result to obtain the following description of the cone of weakly positive $\QQ$-Cartier divisors on the moduli space of stable curves. Let M_g (resp. M_g^0) be the moduli space of stable (resp. smooth) curves of genus g >= 2. Let h be the Hodge class and d_i's (i = 0,...,[g/2]) the boundary classes. A Q-Cartier divisor x h + y_0 d_0 + ... + y_[g/2] d_[g/2] is weakly positive over M_g^0 if and only if x >= 0, g x + (8g + 4) y_0>= 0, and i(g-i) x + (2g+1) y_i>= 0 for all 1 <= i <= [g/2].

研究の動機と目的

• 特徴値がゼロの体上の滑らかな多様体上のベクトル束に対して、相対ボゴモロフ不等式を確立すること。
• 相対次元1の射 f: X → Y に対して、特定のチェーン類の組み合わせの押し出し f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) の弱正性を分析すること。
• 得られた結果を用いて、安定曲線のモジュライ空間上の弱正 Q-カルティエ除数の錐を記述すること。

提案手法

• 滑らかな代数的多様体 X と Y の間の射 f: X → Y を用い、dim f = 1 とする。
• ファイバー X_y と束 E の制限 E_y に対する半安定性条件を適用し、f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) が点 y で弱正であることを導出する。
• 代数幾何における連接層の弱正性理論を用いる。
• 幾何的条件をモジュライ空間 M_g 上の除数類に対する数値的条件に翻訳する。
• M_g^0 の除数類群におけるホッジ類 h と境界類 d_i を分析する。
• 弱正性を特徴付ける h と d_i の係数を含む明示的な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対次元1の射に沿って、チェーン類の組み合わせ 2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2 の押し出し f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) がいつ弱正になるか。
• RQ2 ファイバーと束の制限の半安定性が、特徴的類の正性にどのように影響するか。
• RQ3 安定曲線のモジュライ空間上の弱正 Q-カルティエ除数の完全な数値的特徴付けは何か。
• RQ4 ホッジ類 h と境界類 d_i のどの線形結合が M_g^0 上で弱正か。

主な発見

• E_y が半安定で X_y が滑らかである限り、f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) は点 y で弱正である。
• Q-カルティエ除数 x h + y_0 d_0 + ... + y_{[g/2]} d_{[g/2]} が M_g^0 上で弱正であるための必要十分条件は x ≥ 0 である。
• 境界除数 d_0 の係数に対して、不等式 g x + (8g + 4) y_0 ≥ 0 が成立しなければならない。
• 1 ≤ i ≤ [g/2] を満たす各 i に対して、不等式 i(g−i)x + (2g+1)y_i ≥ 0 が弱正性の必要十分条件である。
• M_g^0 上の弱正 Q-カルティエ除数の全錐は、これらの三つの不等式族によって完全に記述される。