[論文レビュー] Relative Brauer groups of genus 1 curves

Mirela Çiperiani, Daniel Krashen|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の体上の種数1曲線の相対ブラーダー群を決定する計算的手法を開発し、特定の底体ではそれが無限大になり得ることを示し、Q 上の曲線について明示的に計算している。『巡回型』と呼ばれる曲線のクラスを導入し、カップ積と双対性を用いて相対ブラーダー群が明確に記述可能であることを示し、周期・指数問題および初等的障害と関連づけている。

ABSTRACT

In this paper we develop techniques for computing the relative Brauer group of curves, focusing particularly on the case where the genus is 1. We use these techniques to show that the relative Brauer group may be infinite (for certain ground fields) as well as to determine this group explicitly for certain curves defined over the rational numbers. To connect to previous descriptions of relative Brauer groups in the literature, we describe a family of genus 1 curves, which we call "cyclic type" for which the relative Brauer group can be shown to have a particularly nice description. In order to do this, we discuss a number of formulations of the pairing between the points on an elliptic curve and its Weil-Chatêlet group into the Brauer group of the ground field, and draw connections to the period-index problem for genus 1 curves.

研究の動機と目的

• 任意の体上の滑らかで射影的種数1曲線の相対ブラーダー群を計算する一般的手法を開発すること。
• 特に非有限生成または非局所体上での相対ブラーダー群が有限または無限大であるかどうかを調査すること。
• 相対ブラーダー群が特に取り扱いやすい記述を持つ『巡回型』種数1曲線を導入し、その特徴づけを行うこと。
• 相対ブラーダー群を算術幾何における周期・指数問題および初等的障害と関連付けること。
• 具体的な計算に役立つアルゴリズム的ツールを提供し、Macaulay2パッケージとして実装すること。

提案手法

• 種数1曲線 X が体 k 上に定義されているとき、相対ブラーダー群を Br(k) → Br(k(X)) の制限写像の核として定義する。
• ピック多様体と自然な写像 a_X: Pic(X)(k) → Br(k(X)/k) を用い、有理点とブラーダー群の元との関係を調べる。
• 特に同種写像とガロアコホホロジーの文脈において、ペアリング a_X をカップ積と双対性を用いて再定式化する。
• 楕円曲線上の torsion 点を用いて主同次空間を構成し、それらの相対ブラーダー群を計算する具体的な例を構築する。
• PARI/GP を用いたコサイクルと相対ブラーダー不変量の記号的計算を実行する Macaulay2 におけるアルゴリズムを実装する。
• ニシムラの補題を適用し、滑らかな有理点を通じて、多様体の指数が体拡張のもとで保存されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体 k 上の種数1曲線の相対ブラーダー群がどのような条件下で無限大になるか。
• RQ2 種数1曲線が、相対ブラーダー群の記述を簡略化できる『巡回型』構造を持つのはいつか。
• RQ3 相対ブラーダー群は初等的障害および有理点の存在とどのように関係しているか。
• RQ4 Q 上に定義された曲線に対して、相対ブラーダー群をアルゴリズム的に計算できるか。
• RQ5 周期・指数問題と相対ブラーダー群の構造との正確な関係は何か。

主な発見

• ある種の底体では、相対ブラーダー群が無限大になり得ることが、定理 4.12 で示された。
• 巡回型の曲線に対しては、双対同種写像を含む完全系列に相対ブラーダー群が埋め込まれ、ハングの結果が一般化された。
• 写像 a_X: Pic(X)(k) → Br(k(X)/k) はカップ積ペアリングとして実現され、コホモロジー的解釈が得られた。
• 楕円曲線 E の主同次空間 X で X(k) = ∅ を満たすものに対して、k(E) 上で相対ブラーダー群が非自明になることが示された。つまり、Br(X_{k(E)}/k(E)) ≠ 0 である。
• k が局所体、または素体上有限生成な体であれば、相対ブラーダー群は有限であることが、命題 4.11 で示された。
• Macaulay2 パッケージ 'Relative Brauer' は、具体的な例を正しく計算できており、例えば Q 上の特定の曲線に対して相対ブラーダー群が Z/4 × Z/2 に同型であることを示している。