[論文レビュー] Relative Cohomology with Respect to a Lefschetz Pencil

Hossein Movasati|ArXiv.org|Dec 19, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素射影多様体上のリーマン・ペイントにたいするブリースコルンの正則接続およびブリースコルンモジュールの構成を、一般化してグローバルな設定に拡張する。基底集合を blown up し、特異的除法に沿った極をもつ正則微分形式を用いて相対コホロロジーを拡張することで、$\mathbb{P}^1$ 上に正則接続を構成し、無限遠点に極をもつグローバルな正則切断が、ランク $\beta_n$ の $\mathbb{C}[t]$-モジュールであることを証明する。

ABSTRACT

Let $M$ be a complex projective manifold of dimension $n+1$ and $f$ a meromorphic function on $M$ obtained by a generic pencil of hyperplane sections of $M$. The $n$-th cohomology vector bundle of $f_0=f|_{M-\RR}$, where $\RR$ is the set of indeterminacy points of $f$, is defined on the set of regular values of $f_0$ and we have the usual Gauss-Manin connection on it. Following Brieskorn's methods in [bri], we extend the $n$-th cohomology vector bundle of $f_0$ and the associated Gauss-Manin connection to $\pl$ by means of differential forms. The new connection turns out to be meromorphic on the critical values of $f_0$. We prove that the meromorphic global sections of the vector bundle with poles of arbitrary order at $\infty\in\pl$ is isomorphic to the Brieskorn module of $f$ in a natural way, and so the Brieskorn module in this case is a free $\Pf$-module of rank $β_n$, where $\Pf$ is the ring of polynomials in $t$ and $β_n$ is the dimension of $n$-th cohomology group of a regular fiber of $f_0$.

研究の動機と目的

• 複素射影多様体上のリーマン・ペイントの相対コホロロジーベクトル束およびガウス・マンイン接続を、$\mathbb{P}^1$ 全体にまで拡張すること。
• 正則微分形式を用いた、正則接続およびブリースコルンモジュールの局所的構成を、正則微分形式を用いたグローバルで幾何的な設定に一般化すること。
• 無限遠点に極をもつ拡張されたコホロロジー束のグローバルな正則切断が、正則ファイバーのベッチ数 $\beta_n$ に等しいランクの自由 $\mathbb{C}[t]$-モジュールをなすことの証明。
• 拡張されたコホロロジー層とグローバルなブリースコルンモジュールとの間に自然な同型写像を確立し、特異性理論における既知の結果をグローバル射影的設定に一般化すること。

提案手法

• リーマン・ペイントの基底集合 $\mathcal{R}$ に沿った blown up $\pi: V \to M$ を行い、正則関数 $f$ の不定性を解消する。
• $\pi^{-1}(\mathcal{R})$ に沿った任意の位数の極をもつ正則 $n$-形式を用いて、$\mathbb{P}^1$ 上に三つの解析的層 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ を構成する。
• これらの層に、$f_0$ の臨界値に沿った極をもつ正則ガウス・マンイン接続 $\nabla$ を定義する。
• これらの層 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ が $\mathbb{P}^1$ 上でランク $\beta_n$ の局所自由 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-加群であることを証明する。
• $\mathbb{P}^1 - C$ へのこれらの層の制限と、元の相対コホロロジー束およびガウス・マンイン接続との間に自然な同型写像を確立する。
• 無限遠点 $\infty \in \mathbb{P}^1$ に任意の位数の極をもつグローバルな正則切断の $\mathbb{C}[t]$-モジュールとして、グローバルなブリースコルンモジュール $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, $\,^{\prime\prime}H^n$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリースコルンの局所的構成である正則接続およびブリースコルンモジュールは、$\mathbb{P}^1$ 上のリーマン・ペイントのグローバル設定に拡張可能か？
• RQ2 基底が $\mathbb{P}^1$ にコンパクト化されたとき、拡張された相対コホロロジー束およびそのガウス・マンイン接続の構造はいかなるものか？
• RQ3 無限遠点に極をもつ拡張されたコホロロジー束のグローバルな正則切断は、自由 $\mathbb{C}[t]$-モジュールに同型か？
• RQ4 リーマン・ペイントの文脈において、グローバルなブリースコルンモジュールと拡張されたコホロロジー層との関係は何か？
• RQ5 コホロロジー束および接続の拡張は、グローバルにガウス・マンイン構造を保存するか？

主な発見

• 拡張されたコホロロジー層 $\mathcal{H}^n$, $\,^{\prime}\mathcal{H}^n$, および $\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$ は、ランク $\beta_n$ の局所自由 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-加群である。
• これらの層上の正則ガウス・マンイン接続 $\nabla$ は、$f_0$ の臨界値に沿ってのみ極をもち、極の除法は $\tilde{C}$ である。
• $\mathbb{P}^1 - C$ へのこれらの層の制限と、元の相対コホロロジー束およびガウス・マンイン接続との間に自然な同型写像が存在する。
• グローバルなブリースコルンモジュール $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, および $\,^{\prime\prime}H^n$ は、それぞれの拡張された層の無限遠点 $\infty \in \mathbb{P}^1$ に任意の位数の極をもつグローバルな正則切断の $\mathbb{C}[t]$-モジュールに同型である。
• グローバルなブリースコルンモジュール $H^n$, $\,^{\prime}H^n$, および $\,^{\prime\prime}H^n$ は、ランク $\beta_n$ の自由 $\mathbb{C}[t]$-モジュールである。
• この結果は、C. サバの既知の結果を確認・一般化しており、このグローバル設定におけるブリースコルンモジュールが $\mathbb{C}[t]$ 上で自由であることを示している。