[論文レビュー] Relative deformation theory and lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p が十分に大きい場合、完全に実数体上の一般の再帰的群への、奇数の mod p ガロア表現に対する幾何的 p-進上昇の存在を確立する。p 以上の位相で局所 de Rham かつ Hodge-Tate 正則な表現は幾何的上昇を許容し、奇数性の仮定なしに非幾何的上昇結果も得られる。

ABSTRACT

We study irreducible odd mod $p$ Galois representations $\bar{ ho} \colon \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) o G(\overline{\mathbb{F}}_p)$, for $F$ a totally real number field and $G$ a general reductive group. For $p \gg_{G, F} 0$, we show that any $\bar{ ho}$ that lifts locally, and at places above $p$ to de Rham and Hodge-Tate regular representations, has a geometric $p$-adic lift. We also prove non-geometric lifting results without any oddness assumption.

研究の動機と目的

• 完全に実数体上の一般の再帰的群への、非可約で奇数の mod p ガロア表現の上昇問題を研究すること。
• このような表現が幾何的 p-進上昇を許容する条件を特定すること、特に p 以上の位相で局所 de Rham かつ Hodge-Tate 正則であることの影響に焦点を当てる。
• 奇数性の仮定なしに上昇結果を拡張することを目的とし、幾何的制約なしに非幾何的上昇定理を証明すること。
• 再帰的群に値をとるガロア表現を研究するにふさわしい相対的変形理論枠組みを確立すること。

提案手法

• 完全に実数体 F 上の一般の再帰的群 G に対するガロア表現の相対的変形理論を構築する。
• p 以上の位相で、上昇が de Rham かつ Hodge-Tate 正則であることを要求する局所条件を課し、幾何的性を保証する。
• 相対的設定におけるガロア変形環の理論を適用し、変形空間を制御する。
• p が G および F に対して十分に大きい場合、幾何的ケースでは変形条件が妨げられないとする事実を用いる。
• コホモロジー的技法を用いて変形函手の接空間を解析し、上昇の存在を保証する。
• 局所条件を緩和し、幾何的制約なしに標準的変形理論を用いることで、非幾何的上昇の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約で奇数の mod p ガロア表現が再帰的群に値をとるとき、どのような条件下で幾何的 p-進上昇を許容するか？
• RQ2 p 以上の位相で de Rham および Hodge-Tate 正則性の要件が、幾何的上昇の存在にどのように影響するか？
• RQ3 奇数性を仮定せず、非奇数表現に対しても上昇結果を拡張できるか？
• RQ4 p の大きさが、特に群 G および体 F に関連して、このような上昇の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 相対的変形理論は、一般の再帰的群の文脈で上昇の構成をどのように支援するか？

主な発見

• G および F に依存して十分に大きな p に対して、p 以上の位相で局所 de Rham かつ Hodge-Tate 正則な任意の非可約で奇数の mod p ガロア表現は、幾何的 p-進上昇を許容する。
• 幾何的上昇結果は、表現が奇数であり、p 以上の位相で局所条件を満たすという仮定のもとで成り立つ。
• 任意の非可約な mod p ガロア表現に対して、奇数性や幾何的性を仮定せず、非幾何的上昇が存在する。
• p の大きさが極めて重要である：結果は p ≫_{G,F} 0 に依存しており、変形条件が妨げられないことを保証する。
• 相対的変形理論枠組みは、変形空間を効果的に制御でき、幾何的および非幾何的上昇の両方の構成を可能にする。
• p 以上の位相における Hodge-Tate 正則性条件は、上昇の幾何的性を保証するために不可欠である。